Упр.871 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.
2. Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к основанию.

Пусть $$\angle B=\beta,$$ а сумма основания и высоты равна $$a.$$ Построим равнобедренный треугольник $$ABC$$, у которого $$AB=BC,$$ $$BH$$ — высота к основанию $$AC,$$ и $$AC+BH=a.$$

Построение

1. Построим угол $$\angle B=\beta$$ и его биссектрису $$BB_1$$.
2. На произвольном расстоянии от вершины $$B$$ проведём прямую, перпендикулярную биссектрисе $$BB_1,$$ и отметим точки пересечения с сторонами угла: $$A_1$$ и $$C_1.$$
3. Из вершины $$B$$ под произвольным острым углом, вне угла $$\beta,$$ проведём луч и отложим на нём отрезок $$BR=a.$$
4. На луче $$BR$$ отложим точку $$R_1$$ так, чтобы $$BR_1=A_1C_1+BH_1,$$ где $$BH_1$$ — расстояние от точки $$B$$ до прямой $$A_1C_1.$$
5. Проведём прямую $$H_1R_1$$ и через точку $$H$$, где она пересекает биссектрису $$BB_1,$$ проведём прямую, параллельную $$HR.$$
6. Через найденную точку $$H$$ построим перпендикуляр к биссектрисе $$BB_1.$$ Точки пересечения этой прямой со сторонами угла обозначим $$A$$ и $$C.$$ Треугольник $$ABC$$ — искомый.

Обоснование

Так как $$A_1C_1 \parallel AC,$$ а $$BB_1$$ — биссектриса угла $$B,$$ то построенный треугольник равнобедренный: $$AB=BC.$$ Прямая через $$H$$, перпендикулярная биссектрисе, даёт основание $$AC,$$ а отрезок $$BH$$ является высотой к основанию.

По построению выполнено $$AC+BH=a,$$ значит, искомый треугольник построен.

Ответ: построение выполнено.