Упр.870 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка $$M$$ не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что существуют точки $$N$$, $$P$$ и $$Q$$, расположенные так, что $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ являются соответственно серединами отрезков $$MN$$, $$NP$$, $$PQ$$ и $$QM$$.
Точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$. Постройте точку $$D$$ прямой $$AB$$, не лежащую на отрезке $$AB$$, так, чтобы $$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}$$. Всегда ли задача имеет решение?

Подробный ответ

Пусть точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$. Нужно построить точку $$D$$ на прямой $$AB$$, не лежащую на отрезке $$AB$$, так, чтобы

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}.$$

Построение

Проведём прямую $$AB$$ и отметим на ней точку $$C$$.
В точке $$A$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$AB$$.
Построим окружность с центром $$C$$ и радиусом $$AC$$. Она пересечёт перпендикуляр в точке $$C_1$$.
Построим окружность с центром $$B$$ и радиусом $$CB$$. Она пересечёт тот же перпендикуляр в точке $$B_1$$.
Через точки $$C_1$$ и $$B_1$$ проведём прямую. Через точку $$C_1$$ проведём прямую, параллельную $$BB_1$$. Точку её пересечения с прямой $$AB$$ обозначим через $$D$$.

Докажем, что построенная точка подходит.

Так как $$AC_1=AC$$ и $$BC_1=CB$$, то точки $$A, C, C_1$$ и $$B, C, B_1$$ лежат на соответствующих окружностях. Кроме того, $$C_1B_1 \parallel AB$$, поскольку обе прямые перпендикулярны $$AC_1$$.

Из построения получаем, что $$DC_1 \parallel BB_1$$. Следовательно, в треугольнике $$ABB_1$$ прямая $$DC_1$$ параллельна стороне $$BB_1$$, а значит, треугольники $$ADC_1$$ и $$ABB_1$$ подобны. Отсюда

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}.$$

Значит, точка $$D$$ построена верно.

Если же $$AC=CB$$, то требуется точка $$D$$ на прямой $$AB$$ вне отрезка $$AB$$, для которой $$AD=DB$$. Такая точка — середина отрезка $$AB$$, а она лежит на самом отрезке $$AB$$. Поэтому в этом случае решение не существует.