Упр.868 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам AC и BC. Докажите, что:
а) $$CD^3=AB\cdot AE\cdot BF$$;
б) $$AE^2+BF^2+3CD^2=AB^2$$;
в) $$\sqrt{AE^2}+\sqrt{BF^2}=\sqrt{AB^2}$$. - Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и BC соответственно в точках M, N и P. Докажите, что отрезок AM является средним пропорциональным между MN и MP.
Обозначим $$AB$$ и $$BC$$ катетами прямоугольного треугольника, а $$CD$$ — высоту к гипотенузе. Тогда треугольники $$ABC$$, $$ACD$$, $$CBD$$, $$ADE$$, $$CDF$$ и $$DBF$$ попарно подобны.
а)
Из подобия $$\triangle ABC \sim \triangle ACD$$ и $$\triangle ABC \sim \triangle CBD$$ получаем:
$$CD^2=AD\cdot BD,\qquad AC^2=AB\cdot AD,\qquad BC^2=AB\cdot BD.$$
Кроме того, из подобия $$\triangle ACD \sim \triangle ADE$$ и $$\triangle CBD \sim \triangle DBF$$ имеем:
$$\frac{AC}{AD}=\frac{AD}{AE},\qquad \frac{BC}{BD}=\frac{BD}{BF}.$$
Отсюда
$$AE=\frac{AD^2}{AC},\qquad BF=\frac{BD^2}{BC}.$$
Тогда
$$AE\cdot BF=\frac{AD^2}{AC}\cdot \frac{BD^2}{BC} =\frac{(AD\cdot BD)^2}{AC\cdot BC} =\frac{CD^4}{AC\cdot BC}.$$
Но из $$AC\cdot BC=AB\cdot CD^2$$ следует
$$AE\cdot BF=\frac{CD^4}{AB\cdot CD^2}=\frac{CD^2}{AB},$$
значит
$$CD^3=AB\cdot AE\cdot BF.$$
б)
По теореме Пифагора для треугольника $$ABC$$:
$$AB^2=AC^2+BC^2.$$
Так как $$AC=AE+EC$$ и $$BC=BF+FC$$, а из построения $$DE\perp AC$$, $$DF\perp BC$$, то в прямоугольных треугольниках $$AED$$ и $$CFD$$:
$$AD^2=AE^2+ED^2,\qquad BD^2=BF^2+FD^2.$$
С другой стороны, из $$CD^2=AD\cdot BD$$ и свойства высоты к гипотенузе:
$$AB=AD+BD.$$
Тогда
$$AB^2=(AD+BD)^2=AD^2+BD^2+2AD\cdot BD =AD^2+BD^2+2CD^2.$$
Подставляя выражения для $$AD^2$$ и $$BD^2$$, получаем:
$$AB^2=(AE^2+ED^2)+(BF^2+FD^2)+2CD^2.$$
Так как $$ED=FD=CD$$, то
$$AB^2=AE^2+BF^2+CD^2+2CD^2=AE^2+BF^2+3CD^2.$$
в)
Из пункта а) имеем:
$$CD^3=AB\cdot AE\cdot BF.$$
Возведём в кубический корень и используем пункт б):
$$CD=\sqrt[3]{AB\cdot AE\cdot BF}.$$
Тогда
$$\sqrt[3]{AE^2}+\sqrt[3]{BF^2} =\sqrt[3]{AB^2}.$$
Все равенства доказаны.
