Упр.867 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ из середины $$D$$ основания $$AC$$ проведён перпендикуляр $$DH$$ к стороне $$BC$$. Пусть $$M$$ — середина отрезка $$DH$$. Докажите, что $$BM$$ перпендикулярен $$AH$$.
2. В треугольнике $$ABC$$ прямая, проходящая через вершину $$A$$ и делящая медиану $$BM$$ в отношении $$1:2$$, считая от вершины, пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Найдите отношение площадей треугольников $$ABK$$ и $$ABC$$.

Проведём через точку $$M$$ прямую $$ME$$, параллельную стороне $$AK$$, где $$E \in BC$$.

Тогда в треугольнике $$AKC$$ отрезок $$ME$$ — средняя линия, так как $$M$$ — середина $$AC$$ и $$ME \parallel AK$$. Значит, $$E$$ — середина $$KC$$, то есть $$KE=EC$$.

Рассмотрим треугольник $$MBC$$. По условию $$BM$$ — медиана, следовательно, $$M$$ — середина $$AC$$. Прямая $$AK$$ пересекает медиану $$BM$$ в точке $$D$$ так, что

$$BD:DM=1:2.$$

По теореме Фалеса для треугольника $$MBC$$ получаем:

$$\frac{BD}{DM}=\frac{BK}{KE}=\frac{1}{2}.$$

Так как $$KE=EC$$, то

$$BK:KE:EC=1:2:2,$$

откуда

$$BK=\frac{1}{5}BC.$$

Треугольники $$ABK$$ и $$ABC$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому их площади относятся как соответствующие основания:

$$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{5}.$$

Ответ: $$\frac{1}{5}$$.