Упр.866 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Из точки $$M$$ внутренней области угла $$AOB$$ проведены перпендикуляры $$MP$$ и $$MQ$$ к его сторонам $$OA$$ и $$OB$$. Из точек $$P$$ и $$Q$$ проведены перпендикуляры $$PR$$ и $$QS$$ соответственно к $$OB$$ и $$OA$$. Докажите, что $$RS\perp OM$$.
- Стороны треугольника $$EFG$$ соответственно равны медианам треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}}=\frac{3}{4}$$.
Пусть стороны треугольника $$EFG$$ равны медианам треугольника $$ABC$$. Построим треугольник $$ADA_1$$ так, чтобы
$$AD=BB_1,\quad DA_1=CC_1,\quad AA_1=AA_1,$$
то есть чтобы его стороны были равны медианам треугольника $$ABC$$. Тогда $$\triangle ADA_1 \cong \triangle EFG$$, а значит,
$$S_{EFG}=S_{ADA_1}.$$
Докажем, что $$S_{ADA_1}=\dfrac34 S_{ABC}$$.
Проведём через точку $$D$$ прямую, параллельную $$BB_1$$, и через точку $$B$$ прямую, параллельную $$AC$$. Тогда четырёхугольник $$ADBB_1$$ — параллелограмм, поэтому
$$AD=BB_1,\qquad DB=AB_1=\frac12 AC.$$
Так как точка $$C_1$$ — середина стороны $$AB$$, то
$$C_1D=\frac12 B_1D=\frac12 BC.$$
Следовательно, четырёхугольник $$BDB_1C$$ — параллелограмм, так как
$$BD\parallel AC,\qquad BD=B_1C=\frac12 AC.$$
Аналогично, четырёхугольник $$DC_1CA_1$$ — параллелограмм, откуда
$$DC_1\parallel A_1C,\qquad DC_1=A_1C.$$
Получаем, что в треугольнике $$ADA_1$$
$$AD=BB_1,\qquad DA_1=CC_1,$$
то есть он построен на медианах треугольника $$ABC$$.
Теперь найдём его площадь:
$$S_{ADA_1}=S_{ABD}+S_{ABA_1}+S_{A_1C_1B}.$$
Треугольники $$ABD$$ и $$ABB_1$$ имеют равные высоты, а основания относятся как $$1:2$$, поэтому
$$S_{ABD}=\frac12 S_{ABB_1}.$$
Аналогично,
$$S_{ABA_1}=\frac12 S_{ABC}\cdot\frac12=\frac14 S_{ABC},$$
и
$$S_{A_1C_1B}=\frac14 S_{ABC}.$$
Тогда
$$S_{ADA_1} =\frac12 S_{ABB_1}+\frac12\cdot\frac12 S_{ABC}+\frac14 S_{ABC} =\frac14 S_{ABC}+\frac14 S_{ABC}+\frac14 S_{ABC} =\frac34 S_{ABC}.$$
Следовательно,
$$\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ADA_1}}{S_{ABC}}=\frac34.$$
Ответ: $$\dfrac{S_{EFG}}{S_{ABC}}=\dfrac34$$.
