Упр.866 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Из точки М внутренней области угла АОВ проведены перпендикуляры МР и MQ к его сторонам ОА и ОB. Из точек Р и Q проведены перпендикуляры PR и QS соответственно к ОB и ОА. Докажите, что RSперпендикулярнаОМ. Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам треугольника ABC. Докажите, что SEFG/SABC=3/4.

Обозначим точки пересечения прямых $$OM$$ и $$QM$$ с прямой $$AB$$ через $$D$$ и $$E$$ соответственно. Тогда рассмотрим треугольники $$OPE$$ и $$OQD$$.

Имеем $$\angle OPE=90^\circ$$ и $$\angle OQD=90^\circ$$, а также $$\angle AOB$$ — общий для этих треугольников. Следовательно, $$\triangle OPE \sim \triangle OQD$$ по двум углам, значит

$$\frac{OP}{OQ}=\frac{PE}{QD}=\frac{OE}{OD}.$$

Аналогично, из подобия треугольников $$OSQ$$ и $$ORP$$ получаем

$$\frac{OS}{OR}=\frac{SQ}{RP}=\frac{OQ}{OP}.$$

Отсюда

$$\frac{OP}{OQ}=\frac{OE}{OD}, \qquad \frac{OR}{OS}=\frac{OP}{OQ}.$$

Следовательно,

$$\frac{OR}{OS}=\frac{OE}{OD}.$$

Кроме того, из предыдущих равенств получаем

$$\frac{OS}{OR}=\frac{SQ}{RP}=\frac{OQ}{OP}.$$

Значит, треугольники $$\triangle OSR$$ и $$\triangle ODE$$ подобны по трём пропорциональным сторонам. Поэтому

$$SR \parallel DE.$$

Осталось доказать, что $$DE \perp OM$$. Обозначим $$\angle AOB=\alpha$$, $$\angle AOM=\beta$$. Тогда

$$\angle OMP=90^\circ-\beta,$$

а в четырёхугольнике $$OPMQ$$

$$\angle PMQ=180^\circ-\alpha.$$

Следовательно,

$$\angle QED=90^\circ-\alpha+\beta.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle QDE$$ и $$\triangle FDM$$, где $$F=OM\cap DE$$. У них

$$\angle D$$ — общий,

$$\angle QED=\angle DFM.$$

Значит, $$\triangle QDE \sim \triangle FDM$$ по двум углам. Отсюда

$$\angle DFM=\angle DQE=90^\circ.$$

Итак, $$DE \perp OM$$. Так как $$SR \parallel DE$$, то

$$RS \perp OM.$$

Ответ

$$RS \perp OM.$$

Ход решения

Пусть стороны треугольника $$EFG$$ соответственно равны медианам треугольника $$ABC$$: $$EF=CC_1$$, $$FG=AA_1$$, $$GE=BB_1$$.

Построим треугольник $$DAA_1$$ так, чтобы

$$AD=BB_1,\qquad DA_1=CC_1.$$

Тогда четырёхугольники $$ADBB_1$$ и $$DCC_1A_1$$ — параллелограммы, откуда

$$DB \parallel AC,\qquad DC_1 \parallel A_1C.$$

Так как $$B_1$$ — середина $$AC$$, а $$C_1$$ — середина $$AB$$, то

$$BB_1=\frac12 AC,\qquad CC_1=\frac12 AB.$$

Следовательно, треугольник $$DAA_1$$ построен на медианах треугольника $$ABC$$.

Найдём его площадь. Треугольники $$ABD$$ и $$ABB_1$$ имеют общее основание $$AB$$ и равные высоты, поэтому

$$S_{ABD}=S_{ABB_1}.$$

Аналогично,

$$S_{ABA_1}=\frac12 S_{ABC}, \qquad S_{A_1C_1B}=\frac14 S_{ABC}.$$

Тогда

$$ S_{DAA_1}=S_{ABD}+S_{ABA_1}+S_{A_1C_1B} =\frac12 S_{ABC}+\frac14 S_{ABC}+\frac14 S_{ABC} =\frac34 S_{ABC}. $$

Так как $$\triangle EFG$$ равен $$\triangle DAA_1$$, то их площади равны:

$$S_{EFG}=S_{DAA_1}=\frac34 S_{ABC}.$$

Ответ

$$\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}}=\frac34.$$