Упр.865 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. В треугольнике $$ABC$$ $$\angle A=\frac{180^\circ}{7}$$ и $$\angle B=\frac{360^\circ}{7}$$. Докажите, что $$\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}$$.
- Задание учебника 2023 года. В треугольнике $$ABC$$, сторона $$AC$$ которого в два раза больше стороны $$BC$$, проведены биссектриса $$CM$$ и биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$, пересекающая прямую $$AB$$ в точке $$K$$. Докажите, что $$S_{BCM}=\frac{1}{2}S_{ACM}=\frac{1}{3}S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{CMK}$$.
Пусть $$BC=a,$$ тогда по условию $$AC=2a.$$
Проведём биссектрису $$CM$$ и биссектрису внешнего угла при вершине $$C,$$ которая пересекает прямую $$AB$$ в точке $$K.$$
Обозначим через $$H$$ и $$L$$ основания перпендикуляров из $$C$$ на прямые $$AB$$ и $$AK$$ соответственно. Тогда высота из $$C$$ к прямой $$AB$$ одинакова для треугольников $$ABC,$$ $$ACM$$ и $$BCM,$$ а для треугольников $$CMK$$ и $$BMC$$ — одна и та же высота к прямой $$CK.$$ Поэтому отношения площадей этих треугольников равны отношениям соответствующих оснований.
По теореме о биссектрисе в треугольнике $$ABC$$ имеем
$$\frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{2a}{a}=2,$$
значит, $$AM=2BM,$$ откуда
$$AB=AM+BM=3BM,$$
то есть
$$BM=\frac13 AB.$$
Следовательно,
$$S_{BCM}=\frac{BM}{AB}\,S_{ABC}=\frac13 S_{ABC}.$$
Так как $$AC=2BC,$$ то по теореме о биссектрисе внешнего угла
$$\frac{BK}{AK}=\frac{BC}{AC}=\frac12,$$
то есть $$AK=2BK.$$ Тогда
$$KM=AK-BM=2BK-BM.$$
Но из $$AB=AM+BM=3BM$$ и $$AK=2BK$$ получаем, что $$BK=BM,$$ а значит
$$KM=BM+BK=2BM.$$
Следовательно,
$$\frac{BM}{KM}=\frac12,$$
и потому
$$S_{BCM}=\frac12 S_{CMK}.$$
Кроме того, из $$S_{BCM}=\frac13 S_{ABC}$$ получаем
$$S_{ACM}=S_{ABC}-S_{BCM}=\frac23 S_{ABC},$$
значит
$$S_{BCM}=\frac12 S_{ACM}.$$
Итак,
$$S_{BCM}=\frac12 S_{ACM}=\frac13 S_{ABC}=\frac12 S_{CMK}.$$
