Упр.864 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна $$a$$.
- Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
Пусть $$\triangle ABC$$ прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$. Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей квадрата, построенного на гипотенузе $$AB$$.
Проведём через точку $$O$$ перпендикуляры к катетам: $$OK\perp AC$$ и $$OM\perp BC$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOK$$ и $$BOM$$.
Имеем:
- $$OA=OB$$, так как $$O$$ — центр квадрата, а $$AB$$ — его диагональ;
- $$\angle AKO=\angle BMO=90^\circ$$;
- $$AO\perp OB$$, а также $$KO\perp OM$$, поэтому $$\angle AOK=\angle BOM$$.
Следовательно, $$\triangle AOK \cong \triangle BOM$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда
$$AK=BM,\qquad OK=OM.$$
Так как $$AK=AC+CK$$ и $$BM=BC+CM$$, то из равенства $$AK=BM$$ получаем
$$AC+CK=BC+CM.$$
Кроме того, из $$OK=OM$$ следует, что четырёхугольник $$CKOM$$ — квадрат. Значит, $$CK=CM$$.
Тогда из равенства выше получаем
$$AC+CK=BC+CK,$$
то есть
$$AC=BC.$$
Но по условию $$AC+BC=a$$, значит
$$AC=BC=\frac a2.$$
Диагональ квадрата $$CKOM$$ равна
$$OC=CK\sqrt2.$$
Так как $$CK=\dfrac a2$$, то
$$OC=\frac a2\sqrt2=\frac{a\sqrt2}{2}.$$
Ответ: $$\frac{a\sqrt2}{2}$$.
