Упр.863 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$E$$ и $$F$$ лежат на стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, причём точка $$E$$ лежит на отрезке $$AF$$ и $$AE=BF$$. Прямая, проведённая через точку $$E$$ параллельно стороне $$AC$$, пересекает прямую, проведённую через точку $$F$$ параллельно стороне $$BC$$, в точке $$K$$. Докажите, что точка $$K$$ лежит на медиане треугольника $$ABC$$, проведённой к стороне $$AB$$.
- Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ соединяют вершины треугольника $$ABC$$ с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
Пусть $$M$$ — середина отрезка $$AB$$. Докажем, что точка $$K$$ лежит на медиане $$CM$$.
Проведём через точку $$E$$ прямую, параллельную $$AC$$, а через точку $$F$$ — прямую, параллельную $$BC$$. По условию они пересекаются в точке $$K$$.
Рассмотрим треугольник $$EFK$$. Так как $$EK \parallel AC$$ и $$FK \parallel BC$$, то четырёхугольник $$ACKF$$ имеет попарно параллельные противоположные стороны, значит, это параллелограмм. Отсюда
$$KF = AC,\qquad EK = BC.$$
Теперь заметим, что $$E$$ и $$F$$ лежат на стороне $$AB$$, причём $$E \in AF$$ и $$AE = BF$$. Тогда
$$AF = AE + EF,\qquad AB = AE + BF + FB = AE + 2BF,$$
а из $$AE = BF$$ получаем, что точки $$E$$ и $$F$$ расположены симметрично относительно середины отрезка $$AB$$. Следовательно, середина отрезка $$EF$$ совпадает с точкой $$M$$.
В параллелограмме $$ACKF$$ диагонали пересекаются и делятся пополам. Значит, середина диагонали $$AF$$ совпадает с серединой диагонали $$CK$$. Но середина $$AF$$ — это точка $$M$$, поэтому $$M$$ лежит и на отрезке $$CK$$.
Итак, точки $$C$$, $$M$$ и $$K$$ лежат на одной прямой. Следовательно, $$K$$ лежит на медиане $$CM$$ треугольника $$ABC$$.
Ответ: $$K \in CM$$.
