Упр.863 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точки Е и F лежат на стороне АВ треугольника ABC, причём точка Е лежит на отрезке AF и AE = BF. Прямая, проведённая через точку Е параллельно стороне АС, пересекает прямую, проведённую через точку F параллельно стороне ВС, в точке К. Докажите, что точка К лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне АВ. Отрезки АА1 ВВ1 и СС1 соединяют вершины треугольника ABC с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Обозначим через $$M$$ середину отрезка $$AA_1$$, через $$N$$ — середину отрезка $$BB_1$$, через $$K$$ — середину отрезка $$CC_1$$.

Построим средние линии треугольника $$ABC$$: пусть $$D$$ и $$E$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, а $$F$$ — середина стороны $$AC$$. Тогда

$$DE \parallel AC,\quad EF \parallel AB,\quad DF \parallel BC.$$

Рассмотрим точку $$A_1$$, лежащую на стороне $$BC$$. Так как $$M$$ — середина отрезка $$AA_1$$, то при перемещении точки $$A_1$$ по стороне $$BC$$ точка $$M$$ перемещается по средней линии $$DF$$.

Аналогично, так как $$N$$ — середина отрезка $$BB_1$$, то при перемещении точки $$B_1$$ по стороне $$AC$$ точка $$N$$ перемещается по средней линии $$DE$$, а точка $$K$$ — по средней линии $$EF$$.

Предположим, что точки $$M, N, K$$ лежат на одной прямой. Тогда точки $$D, E, F$$ также должны лежать на одной прямой, поскольку соответствующие им средние линии параллельны сторонам треугольника и задают одно и то же направление.

Но точки $$D, E, F$$ — середины сторон треугольника $$ABC$$, а значит, они не могут лежать на одной прямой, так как треугольник $$ABC$$ не вырожден.

Получили противоречие. Следовательно, точки $$M, N, K$$ не лежат на одной прямой.