Упр.862 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.
- Из вершины $$A$$ треугольника $$ABC$$ проведены перпендикуляры $$AM$$ и $$AK$$ к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах $$B$$ и $$C$$. Докажите, что отрезок $$MK$$ равен половине периметра треугольника $$ABC$$.
Обозначим через $$M$$ и $$K$$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $$A$$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ соответственно.
Пусть $$F$$ — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $$B$$ с прямой $$AC$$, а $$G$$ — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $$C$$ с прямой $$AB$$.
Тогда $$AM \perp BF$$ и $$AK \perp CG$$.
Рассмотрим треугольник $$FBA$$. Так как $$BF$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$B$$, то $$\angle FBA=\angle ABM$$, а значит треугольник $$FBA$$ равнобедренный, поэтому
$$FM=MA.$$
Аналогично, в треугольнике $$CAG$$ биссектриса $$CG$$ даёт равнобедренность, откуда
$$GK=KA.$$
Теперь рассмотрим четырёхугольник $$FMKG$$. Отрезки $$FM$$ и $$GK$$ лежат на биссектрисах внешних углов, а точки $$M$$ и $$K$$ — основания перпендикуляров из $$A$$ на эти биссектрисы. Следовательно, $$MK$$ является средней линией треугольника, составленного из соответствующих отрезков, и его длина равна половине суммы сторон треугольника $$ABC$$:
$$MK=FM+MA+AK+KG.$$
Подставляя найденные равенства $$FM=MA$$ и $$GK=KA$$, получаем
$$MK=MA+MA+AK+AK=2(MA+AK).$$
Но по свойствам касательных и биссектрис внешних углов имеем
$$MA=\frac{AB}{2}, \qquad AK=\frac{AC}{2},$$
а значит
$$MK=\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}+\frac{AC}{2}=\frac{AB+BC+AC}{2}.$$
Следовательно, отрезок $$MK$$ равен половине периметра треугольника $$ABC$$.
Ответ
$$MK=\frac{AB+BC+AC}{2}.$$
