Упр.861 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. В треугольнике $$ABC$$ ($$AB \ne AC$$) через середину $$M$$ стороны $$BC$$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $$A$$, которая пересекает прямые $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$D$$ и $$E$$. Рис. 269. Докажите, что $$BD = CE$$.
- Задание учебника 2023 года. Диагонали трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Треугольник $$ABO$$, где $$AB$$ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков $$OA$$, $$OD$$ и $$BC$$, равносторонний.
Пусть $$BM=MC=d,$$ а $$FM=f.$$ Так как $$MD \parallel AF,$$ то
$$\angle ADE=\angle BAF=\frac{\angle A}{2},$$
а также
$$\angle DAE=180^\circ-\angle A.$$
Тогда
$$\angle AED=180^\circ-\left(180^\circ-\angle A+\frac{\angle A}{2}\right)=\frac{\angle A}{2}.$$
Следовательно, $$\triangle DAE$$ равнобедренный, значит
$$AD=AE.$$
Рассмотрим подобные треугольники $$ABF$$ и $$DMB$$. У них
$$\angle ABF=\angle DBM,$$
а также $$\angle AFB=\angle DMB$$, так как $$AF \parallel MD.$$ Поэтому
$$\triangle ABF \sim \triangle DMB.$$
Из подобия получаем
$$\frac{BA}{BD}=\frac{BF}{BM}.$$
Но $$BM=d,$$ $$BF=d-f,$$ значит
$$\frac{BA}{BD}=\frac{d-f}{d}.$$
Тогда
$$AD=BD-BA=BD\left(1-\frac{d-f}{d}\right)=\frac{f}{d}BD.$$
Аналогично, из подобия треугольников $$MCE$$ и $$FCA$$ имеем
$$\frac{CE}{CA}=\frac{CM}{CF}.$$
Так как $$CM=d,$$ $$CF=d+f,$$ то
$$\frac{CE}{CA}=\frac{d}{d+f}.$$
Следовательно,
$$AE=CA-CE=CA\left(1-\frac{d}{d+f}\right)=\frac{f}{d}CE.$$
Но $$AD=AE,$$ значит
$$\frac{f}{d}BD=\frac{f}{d}CE.$$
Отсюда
$$BD=CE.$$
