Упр.861 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике ABC (АВ не равен АС) через середину М стороны ВС проведена прямая, Рис. 269 параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Треугольник АВО, где АВ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков ОА, OD и ВС, равносторонний.
1) Рассмотрим треугольник $$DAE$$.
Так как $$MD \parallel AF$$, то
$$\angle ADE=\angle BAF=\frac{\angle A}{2}.$$
Кроме того, точки $$D, A, B$$ лежат на одной прямой, поэтому
$$\angle DAE=180^\circ-\angle A.$$
Тогда
$$\angle AED=180^\circ-\left(180^\circ-\angle A+\frac{\angle A}{2}\right)=\frac{\angle A}{2}.$$
Следовательно, $$\triangle DAE$$ равнобедренный, и
$$AD=AE.$$
2) Обозначим $$BM=MC=d$$, $$FM=f$$.
Из параллельности $$MD \parallel AF$$ получаем подобие треугольников $$\triangle ABF$$ и $$\triangle DMB$$:
$$\frac{BA}{BD}=\frac{BF}{BM}=\frac{d-f}{d}.$$
Отсюда
$$AD=BD-BA=BD\left(1-\frac{d-f}{d}\right)=\frac{f}{d}\,BD.$$
3) Аналогично, из подобия треугольников $$\triangle MCE$$ и $$\triangle FCA$$:
$$\frac{CE}{CA}=\frac{CM}{CF}=\frac{d}{d+f}.$$
Тогда
$$AE=CA-CE=CE\left(\frac{d+f}{d}-1\right)=\frac{f}{d}\,CE.$$
4) Так как $$AD=AE$$, то
$$\frac{f}{d}\,BD=\frac{f}{d}\,CE,$$
откуда
$$BD=CE.$$
Что и требовалось доказать.
Ответ
$$BD=CE.$$
