Упр.860 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 269 изображён правильный пятиугольник $$ABCDE$$, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что: а) треугольник $$AED$$ и треугольник $$AFE$$; б) $$\frac{DA}{DF}=\frac{DF}{AF}$$.
2. Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.

Пусть $$F=AD\cap BE.$$

Докажем сначала, что $$\triangle AED \sim \triangle AFE.$$

В правильном пятиугольнике сумма внутренних углов равна

$$S=(5-2)\cdot 180^\circ=540^\circ.$$

Каждый угол правильного пятиугольника равен

$$\angle AED=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ.$$

Так как $$AE=ED,$$ то $$\triangle AED$$ равнобедренный, значит

$$\angle DAE=\angle ADE=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$$

Теперь рассмотрим $$\triangle AFE.$$ Поскольку точки $$B,F,E$$ лежат на одной прямой, а $$F\in AD,$$ то

$$\angle FAE=\angle DAE=36^\circ,$$

$$\angle FEA=\angle BEA=36^\circ.$$

Следовательно, по двум углам

$$\triangle AED \sim \triangle AFE.$$

Из подобия треугольников получаем

$$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{AE},$$

откуда

$$DA\cdot AF=AE^2.$$

Докажем теперь равенство

$$\frac{DA}{DF}=\frac{DF}{AF}.$$

Рассмотрим $$\triangle DFE.$$ Так как $$\angle AFE=36^\circ,$$ а точки $$A,F,D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle DFE=180^\circ-\angle AFE=180^\circ-36^\circ=144^\circ.$$

Но в правильном пятиугольнике $$DE=AE,$$ а из подобия уже известно, что $$AE=AF\cdot \frac{AD}{AE}$$; удобнее воспользоваться тем, что в правильном пятиугольнике все стороны равны, значит

$$DE=AE.$$

Тогда в треугольнике $$DFE$$ углы при основании равны, и

$$\angle DEF=\angle DFE=36^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle DFE$$ равнобедренный, поэтому

$$DF=FE.$$

Из подобия $$\triangle AED \sim \triangle AFE$$ имеем также

$$\frac{AD}{AE}=\frac{AE}{AF}.$$

Так как $$AE=DE,$$ а $$DF=FE,$$ то

$$\frac{DA}{DF}=\frac{DF}{AF}.$$

Что и требовалось доказать.