Упр.86 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45° больше другого; б) их разность равна 35°. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые m и n так, что m перпендикулярна a, n перпендикулярна b. Докажите, что прямые m и n не совпадают.

а) Пусть один из смежных углов равен $$x$$, тогда другой равен $$x+45^\circ$$. По свойству смежных углов их сумма равна $$180^\circ$$:

$$x+(x+45^\circ)=180^\circ$$

$$2x+45^\circ=180^\circ$$

$$2x=135^\circ$$

$$x=67^\circ30’$$

Тогда второй угол:

$$67^\circ30’+45^\circ=112^\circ30’$$

б) Пусть один из смежных углов равен $$x$$, тогда другой равен $$x+35^\circ$$. Снова используем свойство смежных углов:

$$x+(x+35^\circ)=180^\circ$$

$$2x+35^\circ=180^\circ$$

$$2x=145^\circ$$

$$x=72^\circ30’$$

Тогда второй угол:

$$72^\circ30’+35^\circ=107^\circ30’$$

Доказательство. Предположим, что прямые $$m$$ и $$n$$ совпадают. Тогда одна и та же прямая $$m$$ перпендикулярна прямым $$a$$ и $$b$$. Значит, прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, так как две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Но по условию прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются. Получаем противоречие. Следовательно, прямые $$m$$ и $$n$$ не совпадают.

Ответ

а) $$67^\circ30’$$ и $$112^\circ30’$$; б) $$72^\circ30’$$ и $$107^\circ30’$$; $$m \ne n$$.