Упр.859 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Внутри прямоугольного треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ взята точка $$O$$ так, что справедливо равенство $$S_{OAB}=S_{OAC}=S_{OBC}$$. Докажите, что справедливо равенство $$OA^2+OB^2=5OC^2$$.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть $$BC=a,$$ $$AC=b,$$ $$AB=c,$$ а через точки $$D$$ и $$E$$ обозначим основания перпендикуляров, опущенных из точки $$O$$ на стороны $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда $$OD=p,$$ $$OE=q.$$

Так как $$S_{AOB}=S_{AOC}=S_{BOC},$$ то каждая из этих площадей равна $$\dfrac{S}{3},$$ где $$S$$ — площадь треугольника $$ABC.$$

Из равенства $$S_{AOC}=S_{BOC}$$ получаем:

$$\frac{1}{2}bq=\frac{1}{2}ap,$$

откуда

$$bq=ap.$$

Кроме того, поскольку $$S_{AOC}=S_{AOB},$$ имеем:

$$\frac{1}{2}bq=\frac{1}{2}cp,$$

то есть

$$bq=cp.$$

Следовательно, $$ap=cp,$$ а значит, $$a=c$$. Тогда из равенства площадей следует, что

$$\frac{1}{2}ap=\frac{S}{3}, \qquad \frac{1}{2}bq=\frac{S}{3}.$$

Теперь выразим отрезки на катетах:

$$CD=q=\frac{a}{3}, \qquad BD=a-q=\frac{2a}{3},$$

$$CE=p=\frac{b}{3}, \qquad AE=b-p=\frac{2b}{3}.$$

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $$OBC$$ и $$OAC$$ получаем:

$$OB^2=OD^2+BD^2=p^2+\left(\frac{2a}{3}\right)^2,$$

$$OC^2=OD^2+CD^2=p^2+\left(\frac{a}{3}\right)^2,$$

значит

$$p^2=OB^2-\frac{4a^2}{9}=OC^2-\frac{a^2}{9}.$$

Аналогично для треугольника $$AOC$$:

$$q^2=OA^2-AE^2=OA^2-\left(\frac{2b}{3}\right)^2,$$

то есть

$$q^2=OA^2-\frac{4b^2}{9}=OC^2-\frac{b^2}{9}.$$

Отсюда

$$OA^2=\frac{a^2+4b^2}{9}, \qquad OB^2=\frac{4a^2+b^2}{9}, \qquad OC^2=\frac{a^2+b^2}{9}.$$

Тогда

$$OA^2+OB^2=\frac{a^2+4b^2}{9}+\frac{4a^2+b^2}{9} =\frac{5a^2+5b^2}{9} =5\cdot \frac{a^2+b^2}{9} =5OC^2.$$

Ответ: $$OA^2+OB^2=5OC^2.$$