Упр.858 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике ABC проведена высота BD. Отрезок КА перпендикулярен к отрезку АВ и равен отрезку DC, отрезок СМ перпендикулярен к отрезку ВС и равен отрезку AD. Докажите, что отрезки MB и КВ равны. Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.

Подробный ответ

Обозначим через $$K_1$$ и $$M_1$$ точки на продолжениях прямых $$AK$$ и $$CM$$ так, что $$A$$ — середина отрезка $$KK_1$$, а $$C$$ — середина отрезка $$MM_1$$. Тогда точки $$K_1$$ и $$M_1$$ симметричны точкам $$K$$ и $$M$$ относительно прямых $$AB$$ и $$BC$$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $$ABK_1$$. Так как $$AK \perp AB$$ и $$AK=DC$$, а $$BD \perp AC$$, то $$\angle AKB=90^\circ$$ и $$\angle ADB=90^\circ$$. Кроме того, $$AB$$ — общая сторона, поэтому

$$BK_1^2=AK_1^2+AB^2=DC^2+AB^2,$$

а для треугольника $$BCM_1$$ имеем

$$BM_1^2=CM_1^2+BC^2=AD^2+BC^2.$$

Но в прямоугольных треугольниках $$ABD$$ и $$CBD$$:

$$AB^2=AD^2+BD^2,$$

$$BC^2=DC^2+BD^2.$$

Следовательно,

$$BK_1^2=DC^2+AB^2=DC^2+AD^2+BD^2,$$

$$BM_1^2=AD^2+BC^2=AD^2+DC^2+BD^2,$$

откуда $$BK_1=BM_1$$.

С другой стороны, из построения точки $$K_1$$ и $$M_1$$ получаем, что $$BK_1$$ и $$BM_1$$ являются соответствующими отрезками в симметричных построениях, значит $$BK=BM$$.