Упр.858 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике ABC проведена высота BD. Отрезок КА перпендикулярен к отрезку АВ и равен отрезку DC, отрезок СМ перпендикулярен к отрезку ВС и равен отрезку AD. Докажите, что отрезки MB и КВ равны.
2. Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.

Обозначим через $$K_1$$ и $$M_1$$ точки на продолжениях прямых $$AB$$ и $$BC$$ соответственно так, что $$AK_1\perp AB$$ и $$AK_1=DC$$, $$CM_1\perp BC$$ и $$CM_1=AD$$. Нужно доказать, что $$BK_1=BM_1$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABK_1$$ и $$DCB$$. У них

$$AK_1=DC,$$
$$AB\perp AK_1,\quad BD\perp AC,\quad \angle AK_1B=\angle DCB=90^\circ.$$

Кроме того, $$\angle ABK_1=\angle DBC$$, так как оба угла дополняют до прямого угла угол между прямыми $$AB$$ и $$BC$$. Значит, треугольники $$ABK_1$$ и $$DCB$$ равны по двум катетам, откуда

$$BK_1=BD.$$

Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$CBM_1$$ и $$ADB$$ получаем

$$BM_1=BD.$$

Следовательно,

$$BK_1=BM_1.$$

Ответ: $$BK_1=BM_1$$.