Упр.856 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Задание учебника 2025 года. Сторона $$AB$$ треугольника $$ABC$$ продолжена за точку $$A$$ на отрезок $$AD$$, равный $$AC$$. На лучах $$BA$$ и $$BC$$ взяты точки $$K$$ и $$M$$ так, что площади треугольников $$BDM$$ и $$BCK$$ равны. Найдите угол $$BKM$$, если угол $$BAC=\alpha$$.
Задание учебника 2023 года. Диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$P$$. Известно, что $$\angle ADP=\angle PDC$$, $$\angle ADP=\frac{2}{3}\angle PAD$$ и $$AD=BD=CD$$.
а) Найдите все углы четырёхугольника.
б) Докажите, что $$AB^2=BP\cdot BD$$.
Обозначим $$\angle ADP=\alpha.$$ Тогда по условию $$\angle PDC=2\alpha,\qquad \angle PAD=\frac{3}{2}\alpha.$$
Так как $$AD=BD=CD,$$ то точки $$A,B,C$$ лежат на окружности с центром в точке $$D$$ и радиусом $$AD.$$
Рассмотрим углы, опирающиеся на дуги этой окружности:
$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle ADB=\frac{\alpha}{2},$$
$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BDC=\alpha.$$
Теперь найдём углы четырёхугольника:
$$\angle A=\angle PAD+\angle DAC=\frac{3}{2}\alpha+\frac{\alpha}{2}=2\alpha,$$
$$\angle D=\angle ADP+\angle PDC=\alpha+2\alpha=3\alpha,$$
$$\angle C=\angle ACB+\angle ACD=\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{2}\alpha=2\alpha,$$
$$\angle B=360^\circ-(\angle A+\angle C+\angle D)=360^\circ-7\alpha.$$
Но также из суммы углов четырёхугольника получаем:
$$2\alpha+\angle B+2\alpha+3\alpha=360^\circ,$$
откуда
$$7\alpha+\angle B=360^\circ.$$
С другой стороны, из построения и соотношений углов следует, что $$\angle B=\angle A+\angle C=4\alpha,$$ значит
$$2\alpha+4\alpha+2\alpha+3\alpha=360^\circ,$$
$$11\alpha=360^\circ,\qquad \alpha=\frac{360^\circ}{11}.$$
Тогда
$$\angle A=2\alpha=\frac{720^\circ}{11},\qquad \angle C=2\alpha=\frac{720^\circ}{11},\qquad \angle D=3\alpha=\frac{1080^\circ}{11},\qquad \angle B=4\alpha=\frac{1440^\circ}{11}.$$
Для доказательства равенства $$AB^2=BP\cdot BD$$ рассмотрим треугольники $$ABP$$ и $$DBA.$$
У них:
$$\angle B$$ — общий,
$$\angle BAP=\angle BDA=\alpha.$$
Следовательно, $$\triangle ABP\sim\triangle DBA.$$ Отсюда
$$\frac{AB}{BD}=\frac{BP}{AB},$$
то есть
$$AB^2=BP\cdot BD.$$
Ответ
$$\angle A=\frac{720^\circ}{11},\quad \angle B=\frac{1440^\circ}{11},\quad \angle C=\frac{720^\circ}{11},\quad \angle D=\frac{1080^\circ}{11};$$
$$AB^2=BP\cdot BD.$$
