Упр.855 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая отрезок $$AB$$ в точке $$M$$ и отрезок $$CD$$ в точке $$K$$. Прямая, проведённая через точку $$K$$ параллельно отрезку $$AB$$, пересекает отрезок $$BD$$ в точке $$T$$, а прямая, проведённая через точку $$M$$ параллельно отрезку $$CD$$, пересекает отрезок $$AC$$ в точке $$E$$. Докажите, что прямые $$BE$$ и $$CT$$ параллельны.
- Задание учебника 2023 года. Из вершины прямого угла $$C$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ проведён перпендикуляр $$CD$$ к гипотенузе, а из точки $$D$$ — перпендикуляры $$DE$$ и $$DF$$ к катетам $$AC$$ и $$BC$$. Докажите, что:
а) $$CD^3=AB\times AE\times BF$$;
б) $$AE^2+BF^2+3CD^2=AB^2$$;
в) $$\sqrt{AE^2}+\sqrt{BF^2}=\sqrt{AB^2}$$.
Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей четырёхугольника. Тогда $$O\in AC$$ и $$O\in BD$$, причём прямая $$MK$$ проходит через $$O$$.
Рассмотрим треугольники $$KTO$$ и $$MBO$$. У них:
- $$\angle KTO=\angle MBO$$ как вертикальные;
- $$\angle KOT=\angle MOB$$ как вертикальные;
- $$KT\parallel AB$$, а точки $$M,B\in AB$$, значит соответствующие углы равны.
Следовательно, $$\triangle KTO\sim \triangle MBO$$.
Аналогично рассмотрим треугольники $$KCO$$ и $$MEO$$. У них:
- $$\angle KOC=\angle MOE$$ как вертикальные;
- $$KC\parallel CD$$, а точки $$M,E\in CD$$, значит соответствующие углы равны.
Значит, $$\triangle KCO\sim \triangle MEO$$.
Из подобия получаем пропорции:
$$\frac{KO}{OM}=\frac{TO}{BO}=\frac{KT}{MB}$$
$$\frac{KO}{OM}=\frac{CO}{OE}=\frac{KC}{ME}$$
Отсюда
$$\frac{TO}{BO}=\frac{CO}{OE}.$$
Рассмотрим теперь треугольники $$COT$$ и $$EOB$$. У них:
- $$\angle COT=\angle EOB$$ как вертикальные;
- $$\frac{CO}{OE}=\frac{TO}{BO}$$.
Следовательно, $$\triangle COT\sim \triangle EOB$$, а значит, соответствующие углы равны:
$$\angle CTO=\angle EBO.$$
Но точки $$B,O,D$$ лежат на одной прямой, а точки $$C,O,K$$ — на другой, поэтому из равенства углов следует, что прямые $$CT$$ и $$BE$$ параллельны.
Итак, $$BE\parallel CT$$.
