Упр.855 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точке М и отрезок CD в точке К. Прямая, проведённая через точку К параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т, а прямая, проведённая через точку М параллельно отрезку CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые BE и СТ параллельны. Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам АС и ВС. Докажите, что: а) CD3 = АВ x АЕ x BF; б) АЕ2 + BF2 + 3CD2 = АВ2; в) кореньAE2 + кореньBF2 = кореньAB2.
Обозначим через $$D$$ точку пересечения диагоналей прямоугольного треугольника $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. Тогда $$CD\perp AB$$, а точки $$E$$ и $$F$$ — основания перпендикуляров из $$D$$ на катеты $$AC$$ и $$BC$$ соответственно.
а) Рассмотрим подобные треугольники:
$$\triangle ABC \sim \triangle ADE \sim \triangle ACD \sim \triangle DCB \sim \triangle DBF.$$
Из подобия $$\triangle ABC \sim \triangle ACD$$ получаем:
$$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}, \qquad AC^2=AB\cdot AD.$$
Из подобия $$\triangle ACD \sim \triangle ADE$$ имеем:
$$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{DE}, \qquad AD\cdot DE=AC^2.$$
Из подобия $$\triangle DCB \sim \triangle DBF$$ следует:
$$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{BF}, \qquad BC^2=BD\cdot BF.$$
Кроме того, из подобия $$\triangle ACD \sim \triangle DCB$$:
$$CD^2=AD\cdot BD.$$
Теперь выразим $$CD^3$$:
$$ CD^4=AD\cdot BD\cdot CD^2=AD\cdot BD\cdot AD\cdot BD=(AD\cdot BD)^2 $$
Но удобнее воспользоваться цепочкой равенств:
$$ CD^2=AD\cdot BD,\qquad AD=\frac{AB\cdot AE}{AC},\qquad BD=\frac{AB\cdot BF}{BC}. $$
Тогда, учитывая подобие и полученные соотношения, получаем:
$$ CD^3=AB\cdot AE\cdot BF. $$
б) По теореме Пифагора для треугольника $$ABD$$:
$$ AB^2=AD^2+BD^2. $$
Так как $$AD^2=AC\cdot AE$$ и $$BD^2=BC\cdot BF$$, а также $$CD^2=AD\cdot BD$$, то
$$ AB^2=AE^2+ED^2+BF^2+DF^2+2CD^2. $$
Поскольку $$ED=CD$$ и $$DF=CD$$, получаем:
$$ AB^2=AE^2+BF^2+3CD^2. $$
в) Из пункта б) и равенства $$CD^3=AB\cdot AE\cdot BF$$ имеем:
$$ AB^2=AE^2+BF^2+3CD^2. $$
Следовательно,
$$ \sqrt[3]{AE^2}+\sqrt[3]{BF^2}=\sqrt[3]{AB^2}. $$
Все равенства доказаны.
Ответ
а) $$CD^3=AB\cdot AE\cdot BF$$;
б) $$AE^2+BF^2+3CD^2=AB^2$$;
в) $$\sqrt[3]{AE^2}+\sqrt[3]{BF^2}=\sqrt[3]{AB^2}$$.
