Упр.854 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямая, проходящая через вершину $$C$$ параллелограмма $$ABCD$$, пересекает прямые $$AB$$ и $$AD$$ в точках $$K$$ и $$M$$. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников $$KBC$$ и $$CDM$$ равны соответственно $$S_1$$ и $$S_2$$.
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ из середины $$D$$ основания $$AC$$ проведён перпендикуляр $$DH$$ к стороне $$BC$$. Пусть $$M$$ — середина отрезка $$DH$$. Докажите, что $$BM$$ перпендикулярен $$AH$$.
Пусть $$k=\frac{AK}{KB}.$$
Рассмотрим треугольники $$AMK$$ и $$DMC$$. У них
$$\angle AMK=\angle DMC$$ — вертикальные,
$$\angle AKM=\angle DCM$$ — накрест лежащие, так как $$AB \parallel CD$$.
Значит, $$\triangle AMK \sim \triangle DMC$$, и поэтому
$$\frac{AM}{MD}=\frac{AK}{DC}=k,$$
откуда
$$\frac{S_{AMK}}{S_{DMC}}=k^2,$$
то есть
$$S_{AMK}=k^2S_2.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$AMK$$ и $$KBC$$. Так как $$AM \parallel BC$$, то
$$\angle AKM=\angle KCB,$$
$$\angle AMK=\angle KBC,$$
следовательно, $$\triangle AMK \sim \triangle KBC$$.
Из подобия получаем
$$\frac{KA}{KB}=\frac{AM}{BC}.$$
Но в параллелограмме $$BC=AD=AM+MD$$, а из первого подобия $$\frac{AM}{MD}=k$$, значит
$$\frac{AM}{BC}=\frac{AM}{AM+MD}=\frac{k}{k+1}.$$
Следовательно,
$$\frac{KA}{KB}=\frac{k}{k+1}.$$
Тогда отношение площадей подобных треугольников $$AMK$$ и $$KBC$$ равно квадрату коэффициента подобия:
$$S_{AMK}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^2 S_1.$$
Приравняем два выражения для $$S_{AMK}$$:
$$k^2S_2=\left(\frac{k}{k+1}\right)^2S_1.$$
Сокращая на $$k^2$$, получаем
$$S_2=\frac{S_1}{(k+1)^2},$$
откуда
$$k+1=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}.$$
Теперь найдём площадь параллелограмма:
$$S_{ABCD}=S_{KBC}+S_{KCD}-S_{AMK}=S_1+S_2-S_{AMK}.$$
Подставим $$S_{AMK}=k^2S_2$$ и $$k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}-1$$:
$$S_{ABCD}=S_1+S_2-\left(\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}-1\right)^2S_2.$$
Раскроем скобки:
$$S_{ABCD}=S_1+S_2-\left(\frac{S_1}{S_2}-2\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}+1\right)S_2$$
$$S_{ABCD}=S_1+S_2-S_1+2\sqrt{S_1S_2}-S_2=2\sqrt{S_1S_2}.$$
Ответ: $$2\sqrt{S_1S_2}$$.
