Упр.853 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$A$$ лежит внутри угла, равного $$60^\circ$$. Расстояния от точки $$A$$ до сторон угла равны $$a$$ и $$b$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до вершины угла.
2. Из точки $$M$$ внутренней области угла $$AOB$$ проведены перпендикуляры $$MP$$ и $$MQ$$ к его сторонам $$OA$$ и $$OB$$. Из точек $$P$$ и $$Q$$ проведены перпендикуляры $$PR$$ и $$QS$$ соответственно к $$OB$$ и $$OA$$. Докажите, что $$RS\perp OM$$.

Обозначим расстояния от точки $$A$$ до сторон угла через $$a$$ и $$b$$. Пусть $$O$$ — вершина угла, а $$\angle AOB=60^\circ$$.

Проведём через точку $$A$$ прямые, перпендикулярные сторонам угла. Тогда получим прямоугольный треугольник, в котором расстояния $$a$$ и $$b$$ являются катетами, а искомое расстояние $$AO$$ связано с ними через угол $$60^\circ$$.

Рассмотрим треугольник, образованный точкой $$A$$ и сторонами угла. По теореме косинусов для стороны, лежащей напротив угла $$120^\circ$$, получаем:

$$AO^2=a^2+b^2-2ab\cos120^\circ.$$

Так как $$\cos120^\circ=-\frac12$$, то

$$AO^2=a^2+b^2+ab.$$

Следовательно,

$$AO=\sqrt{a^2+b^2+ab}.$$

Ответ: $$AO=\sqrt{a^2+b^2+ab}$$.