Упр.852 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Середины $$K$$ и $$M$$ сторон $$AB$$ и $$DC$$ выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ соединены отрезками $$KD$$, $$KC$$, $$MA$$ и $$MB$$ соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам $$AD$$ и $$BC$$.
2. В треугольнике $$ABC$$ $$\angle A=\frac{180^\circ}{7}$$ и $$\angle B=\frac{360^\circ}{7}$$. Докажите, что $$\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}$$.

1) Докажем первое утверждение. Обозначим через $$S$$ площадь четырёхугольника, заключённого между отрезками $$KC,\,CM,\,MB,\,BK$$.

Пусть $$AK=KB=a$$, $$CM=MD=b$$. Тогда

$$S_{ABCD}=S_{ABM}+S_{BCM}+S_{AKD}+S_{AFD}$$

и, учитывая, что площади треугольников с одинаковыми основаниями пропорциональны соответствующим высотам, получаем

$$S_{KEMF}=S_{ABM}-S_{KBC}+S_{BCE}-S_{AKD}+S_{AFD}.$$

Высота между прямыми $$AB$$ и $$CD$$ изменяется линейно, поэтому разности высот в соответствующих треугольниках взаимно компенсируются. В результате остаётся

$$S_{KEMF}=S_{BCE}+S_{AFD}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$S_{KEMF}=S_{BCE}+S_{AFD}.$$

Ход решения

2) Докажем второе утверждение. Пусть в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A=\frac{180^\circ}{7},\qquad \angle B=\frac{360^\circ}{7}.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-\left(\frac{180^\circ}{7}+\frac{360^\circ}{7}\right)=\frac{720^\circ}{7}.$$

Проведём биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$, пусть они пересекаются в точке $$M$$. Рассмотрим треугольник $$BEC$$. В нём

$$\angle EBC=\angle ECB=\frac{360^\circ}{7},$$

значит, $$BE=EC$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACE$$. У них

$$\angle ACB=\angle ACE,\qquad \angle ABC=\angle AEC,$$

следовательно, треугольники подобны. Отсюда

$$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CE}.$$

Так как $$CE=BC$$, получаем

$$AB\cdot BC=AC^2.$$

Аналогично из подобия треугольников $$ABC$$ и $$BDC$$ имеем

$$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AC},$$

то есть

$$BC\cdot AC=AB\cdot CD.$$

Сложим равенства

$$AB\cdot BC=AC^2,\qquad AC\cdot BC=AB\cdot CD.$$

Тогда

$$BC(AB+AC)=AB\cdot AC.$$

Следовательно,

$$BC=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}.$$

Разделив обе части на $$AB\cdot AC\cdot BC$$, получаем

$$\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}.$$

Ответ

$$\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}.$$