Упр.852 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Середины К и М сторон АВ и DC выпуклого четырёхугольника ABCD соединены отрезками KD, КС, МА и MB соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и ВС. В треугольнике ABC уголA=180°/7 и уголB = 360°/7. Докажите, что 1/BC=1/AC+1/AB.

Подробный ответ

1) Обозначим $$AK=KB=a,$$ $$CM=MD=b.$$ Тогда четырёхугольник, заключённый между отрезками $$KD,\ KC,\ MA,\ MB,$$ состоит из частей четырёх треугольников:

$$S_{KEMF}=S_{ABM}-S_{KBC}+S_{BCE}-S_{AKD}+S_{AFD}.$$

Так как $$K$$ и $$M$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD,$$ то

$$AB=2a,\qquad CD=2b.$$

Пусть $$h_1,h_2,h_3$$ — расстояния от точек $$B,C,D$$ до прямой $$AD$$, а $$d$$ — расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$. Тогда высоты к сторонам $$AB$$ и $$CD$$ отличаются на одну и ту же величину, поэтому

$$h_2-h_1=h_3-h_2=d.$$

Запишем площади:

$$S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot h_2=\frac12\cdot 2a\cdot h_2=ah_2,$$

$$S_{KBC}=\frac12\cdot KB\cdot h_1=\frac12\cdot a\cdot h_1,$$

$$S_{BCE}=\text{площадь треугольника }BCE,$$

$$S_{AKD}=\frac12\cdot AK\cdot h_3=\frac12\cdot a\cdot h_3,$$

$$S_{AFD}=\text{площадь треугольника }AFD.$$

Тогда

$$S_{KEMF}=ah_2-\frac12a h_1+S_{BCE}-\frac12a h_3+S_{AFD}.$$

С учётом равенств $$h_2-h_1=h_3-h_2=d$$ получаем

$$h_1=h_2-d,\qquad h_3=h_2+d.$$

Подставим:

$$ S_{KEMF} =ah_2-\frac12a(h_2-d)+S_{BCE}-\frac12a(h_2+d)+S_{AFD} $$

$$ =ah_2-\frac12a h_2+\frac12ad+S_{BCE}-\frac12a h_2-\frac12ad+S_{AFD} =S_{BCE}+S_{AFD}. $$

Значит, площадь четырёхугольника, заключённого между данными отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам $$AD$$ и $$BC$$.

2) Пусть в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A=\frac{180^\circ}{7},\qquad \angle B=\frac{360^\circ}{7}.$$

Тогда

$$ \angle C=180^\circ-\left(\frac{180^\circ}{7}+\frac{360^\circ}{7}\right) =\frac{720^\circ}{7}. $$

Проведём биссектрису $$BD$$ угла $$B$$, а через точку $$C$$ — прямую $$CE$$, параллельную $$BD$$, пересекающую $$AB$$ в точке $$E$$. Тогда в треугольнике $$BEC$$

$$\angle EBC=\frac{1}{2}\angle B=\frac{180^\circ}{7},$$

$$\angle ECB=\angle DBC=\frac{180^\circ}{7}.$$

Следовательно, $$BE=EC,$$ то есть треугольник $$BEC$$ равнобедренный.

Кроме того, треугольники $$ABC$$ и $$BCE$$ подобны по двум углам, поэтому

$$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CE}.$$

Так как $$CE=AB-AC,$$ получаем

$$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{AB-AC}.$$

Отсюда

$$AB(AB-AC)=BC^2,$$

$$AB^2-AB\cdot AC=BC^2.$$

Перенесём слагаемые:

$$AB\cdot AC=AB^2-BC^2.$$