Упр.851 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.
- Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна $$a$$.
Пусть стороны четырёхугольника, на которых отмечены точки деления, имеют длины $$a$$ и $$b$$, а отрезки разбивают их на три равные части. Обозначим площадь всего четырёхугольника через $$S_{ABCD}$$, а площадь средней части — через $$S$$.
Проведём через точки деления вспомогательные линии, как на рисунке. Тогда весь четырёхугольник распадается на шесть треугольников, причём три из них лежат по одну сторону от одного отрезка, а три — по другую.
Из равенства соответствующих отрезков на сторонах и из подобия получающихся треугольников следует, что площади трёх треугольников, прилежащих к одной стороне, относятся как $$1:1:1$$, а аналогично и на другой стороне. Поэтому сумма площадей трёх частей, не входящих в среднюю область, в три раза больше площади средней части.
Обозначим площадь средней части через $$S$$. Тогда площадь всего четырёхугольника равна
$$S_{ABCD}=3S.$$
Следовательно,
$$S=\frac{1}{3}S_{ABCD}.$$
Ответ: $$\frac{1}{3}$$ площади четырёхугольника.
