Упр.849 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Прямая, проходящая через середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$, пересекает стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$K$$. Докажите, что площади треугольников $$DCM$$ и $$AKB$$ равны.
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.
Обозначим точку пересечения прямой, проходящей через середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$, со сторонами $$AB$$ и $$CD$$ через $$M$$ и $$K$$ соответственно. Пусть $$E$$ — середина диагонали $$AC$$, а $$F$$ — середина диагонали $$BD$$.
Тогда точки $$E$$ и $$F$$ лежат на одной прямой, а также $$M, E, F, K$$ коллинеарны.
Рассмотрим треугольники $$AMK$$ и $$CMK$$. У них общая высота, опущенная из точки $$K$$ на прямую $$AB$$, и общая высота, опущенная из точки $$M$$ на прямую $$CD$$. Поэтому достаточно доказать равенство соответствующих оснований.
Из того, что $$E$$ — середина $$AC$$, получаем $$AE=EC$$. Так как точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, а $$E, M, K$$ — на одной прямой, то треугольники $$AEM$$ и $$CEM$$ имеют равные основания $$AE$$ и $$EC$$ и общую высоту, опущенную из $$M$$ на прямую $$AC$$. Следовательно,
$$S_{AMK}=S_{CMK}.$$
Аналогично, из того, что $$F$$ — середина $$BD$$, имеем $$BF=FD$$, и для треугольников $$BMF$$ и $$DMF$$ с общей высотой из $$M$$ на прямую $$BD$$ получаем
$$S_{BMK}=S_{DMK}.$$
Сложим эти равенства:
$$S_{AMK}+S_{BMK}=S_{CMK}+S_{DMK}.$$
Но $$S_{AMK}+S_{BMK}=S_{ABK}$$, а $$S_{CMK}+S_{DMK}=S_{DCM}$$. Значит,
$$S_{ABK}=S_{DCM}.$$
Следовательно, площади треугольников $$DCM$$ и $$AKB$$ равны.
Ответ
$$S_{DCM}=S_{AKB}.$$
