Упр.849 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точках М и К. Докажите, что площади треугольников DCM и АКВ равны. Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.

Подробный ответ

Обозначим через $$E$$ середину диагонали $$AC$$, а через $$F$$ — середину диагонали $$BD$$. По условию прямая $$EF$$ пересекает стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$K$$.

Рассмотрим треугольники $$AMK$$ и $$CMK$$. Точки $$E$$ и $$F$$ лежат на одной прямой $$MK$$, причём $$AE=EC$$ и $$BF=FD$$. Тогда высоты этих треугольников, опущенные на прямую $$MK$$, равны соответственно расстояниям от точек $$A$$ и $$C$$ до прямой $$MK$$, а также от точек $$B$$ и $$D$$ до прямой $$MK$$.

Из равенства отрезков $$AE=EC$$ следует, что точки $$A$$ и $$C$$ симметричны относительно середины $$E$$ диагонали $$AC$$, а из $$BF=FD$$ — что точки $$B$$ и $$D$$ симметричны относительно середины $$F$$ диагонали $$BD$$. Поэтому площади треугольников с основаниями на одной и той же прямой $$MK$$, построенных на соответствующих симметричных вершинах, равны:

$$S_{AMK}=S_{CMK},$$
$$S_{BMK}=S_{DMK}.$$

Сложим эти равенства:

$$S_{AMK}+S_{BMK}=S_{CMK}+S_{DMK}.$$

Но треугольники $$AMK$$ и $$BMK$$ составляют четырёхугольник $$ABMK$$, а треугольники $$CMK$$ и $$DMK$$ — четырёхугольник $$CDMK$$. Следовательно, равенство площадей этих сумм даёт равенство площадей треугольников $$AKB$$ и $$DCM$$:

$$S_{AKB}=S_{DCM}.$$

Тем самым доказано, что площади треугольников $$DCM$$ и $$AKB$$ равны.