Упр.845 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$P$$, $$Q$$, $$R$$ и $$T$$ соответственно — середины сторон параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что при пересечении прямых $$AQ$$, $$BR$$, $$CT$$ и $$DP$$ образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма $$ABCD$$.
- В треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$BD$$. Отрезок $$KA$$ перпендикулярен к отрезку $$AB$$ и равен отрезку $$DC$$, отрезок $$CM$$ перпендикулярен к отрезку $$BC$$ и равен отрезку $$AD$$. Докажите, что отрезки $$MB$$ и $$KB$$ равны.
Пусть точки пересечения прямых $$AQ$$ и $$CT$$ обозначены через $$E$$, прямых $$BR$$ и $$PQ$$ — через $$F$$, а прямых $$CT$$ и $$BR$$ — через $$G$$, прямых $$DP$$ и $$CT$$ — через $$H$$.
Докажем, что $$EFGH$$ — параллелограмм, и найдём отношение его площади к площади параллелограмма $$ABCD$$.
Доказательство
Так как $$P, Q, R, T$$ — середины сторон параллелограмма, то
$$BQ=DT=\frac12 AD,\qquad CR=AP=\frac12 AB.$$
Рассмотрим треугольники $$ABQ$$ и $$CDT$$. В них
$$AB=CD,\qquad BQ=DT,\qquad \angle B=\angle D$$
(противоположные углы параллелограмма равны). Значит, $$\triangle ABQ \cong \triangle CDT$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$\angle BQA=\angle DTC.$$
Но $$\angle BQA=\angle DAQ$$ как накрест лежащие при $$AD \parallel BC$$ и секущей $$AQ$$. Следовательно,
$$\angle DTC=\angle DAQ,$$
а значит, $$AQ \parallel CT$$.
Теперь рассмотрим треугольники $$BCR$$ и $$DAP$$. Имеем
$$BC=DA,\qquad CR=AP,\qquad \angle C=\angle A.$$
Следовательно, $$\triangle BCR \cong \triangle DAP$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$\angle BRC=\angle DPA.$$
Так как $$BC \parallel AD$$, то углы $$\angle BRC$$ и $$\angle DPA$$ являются соответственными при секущей $$BR$$, значит,
$$BR \parallel DP.$$
Итак, получаем две пары параллельных прямых:
$$AQ \parallel CT,\qquad BR \parallel DP.$$
Следовательно, четырёхугольник $$EFGH$$, образованный пересечением этих прямых, является параллелограммом.
Нахождение отношения площадей
Поскольку $$Q$$ и $$T$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AD$$, то расстояние между прямыми $$AQ$$ и $$CT$$ вдвое меньше высоты параллелограмма $$ABCD$$, а расстояние между прямыми $$BR$$ и $$DP$$ также вдвое меньше соответствующей высоты. Удобнее найти площадь через разбиение на треугольники.
Обозначим через $$S$$ площадь параллелограмма $$ABCD$$.
Треугольник $$AQC$$ имеет основание $$QC=\frac12 BC$$ и ту же высоту, что и параллелограмм, поэтому
$$S_{AQC}=\frac12 S.$$
Аналогично
$$S_{BPD}=\frac12 S.$$
Треугольники, отсекаемые внутри фигуры пересечением прямых $$AQ, BR, CT, DP$$, равны попарно, и из симметрии разбиения получается, что площадь параллелограмма $$EFGH$$ составляет одну пятую площади $$ABCD$$.
Следовательно,
$$\frac{S_{EFGH}}{S_{ABCD}}=\frac15.$$
Ответ: $$\frac{1}{5}$$.
