Упр.845 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точки Р, Q, R и Т соответственно — середины сторон АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, СТ и DP образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD. В треугольнике ABC проведена высота BD. Отрезок КА перпендикулярен к отрезку АВ и равен отрезку DC, отрезок СМ перпендикулярен к отрезку ВС и равен отрезку AD. Докажите, что отрезки MB и КВ равны.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения прямых: $$E=AQ\cap DF,$$ $$F=BR\cap AQ,$$ $$G=CT\cap BR,$$ $$H=DP\cap CT.$$ Докажем, что $$EFGH$$ — параллелограмм, и найдём отношение площадей.

Рассмотрим треугольники $$ABQ$$ и $$CDT$$. Так как $$P,Q,R,T$$ — середины сторон параллелограмма, то

$$AB=CD,\qquad BQ=DT=\frac12 AD,\qquad \angle B=\angle D.$$

Следовательно, $$\triangle ABQ \cong \triangle CDT$$ по первому признаку, откуда

$$\angle BQA=\angle DTC.$$

Но $$AD\parallel BC$$, а прямая $$AQ$$ — секущая, значит

$$\angle BQA=\angle DAQ.$$

Тогда $$\angle DTC=\angle DAQ$$, следовательно, $$AQ\parallel TC$$.

Аналогично рассмотрим треугольники $$BCR$$ и $$DAP$$. Имеем

$$BC=DA,\qquad CR=AP=\frac12 AB,\qquad \angle C=\angle A.$$

Значит, $$\triangle BCR \cong \triangle DAP$$, откуда

$$\angle BRC=\angle DPA.$$

Так как $$BC\parallel AD$$, то получаем $$BR\parallel DP$$.

Итак, $$AQ\parallel TC$$ и $$BR\parallel DP$$. Следовательно, четырёхугольник $$EFGH$$, образованный пересечением прямых $$AQ, BR, CT, DP$$, является параллелограммом.

Теперь найдём отношение площадей. Пусть $$S_{ABCD}=S.$$ Тогда

$$S_{AQCT}=\frac12 S,$$

так как $$AT=\frac12 AD.$$

Рассмотрим треугольники $$DHT$$ и $$DEA$$. Из подобия по двум углам получаем

$$\frac{DT}{DA}=\frac12,$$

поэтому

$$S_{DHT}=\frac14 S_{DEA}.$$

Кроме того, треугольник $$AEHT$$ состоит из треугольников $$DEA$$ и $$DHT$$, значит

$$S_{AEHT}=S_{DEA}-S_{DHT}=3S_{DHT}.$$

Тогда

$$S_{EFGH}=S_{AQCT}-6S_{DHT}.$$

С другой стороны, через параллелограмм $$PBRD$$ имеем