Упр.844 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки М и К, а на отрезке МК — точка Р так, что AM/MC=CK/KB=MP/PK. Наидите площадь треугольника ABC, если площади треугольников АМР и ВКР равны S1 и S2. Внутри прямоугольника ABCD взята точка М. Известно, что MB = а, МС = b и MD = c. Найдите длину отрезка МА.
Обозначим $$\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}=k.$$
Тогда для треугольников с общей высотой из вершины $$A$$ к прямой $$MK$$ имеем
$$\frac{S_{AMP}}{S_{APK}}=\frac{MP}{PK}=k,$$
значит,
$$S_{APK}=\frac{S_1}{k}.$$
Следовательно,
$$S_{AMK}=S_{AMP}+S_{APK}=S_1+\frac{S_1}{k}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1.$$
Так как $$\frac{AM}{MC}=k,$$ то для треугольников $$AKM$$ и $$KMC$$ с общей высотой из точки $$K$$ к прямой $$AC$$ получаем
$$\frac{S_{KAM}}{S_{KMC}}=\frac{AM}{MC}=k.$$
Отсюда
$$S_{KMC}=\frac{S_{KAM}}{k}=\frac{\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1}{k}=\frac{k+1}{k^2}S_1.$$
Тогда
$$S_{ACK}=S_{AKM}+S_{KMC}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1+\frac{k+1}{k^2}S_1=\frac{(k+1)^2}{k^2}S_1.$$
Аналогично, из условия $$\frac{CK}{KB}=k$$ для треугольников $$BKP$$ и $$BPR$$ получаем
$$S_{BKP}=\frac{S_2}{k},$$
а значит
$$S_{BMK}=S_{BKP}+S_{BMP}=(k+1)S_2.$$
Далее, из $$\frac{CK}{KB}=k$$ следует
$$S_{MCK}=k\cdot S_{MKB}=k(k+1)S_2,$$
и потому
$$S_{MCB}=S_{MCK}+S_{MKB}=(k+1)^2S_2.$$
Теперь из $$\frac{AM}{MC}=k$$ для треугольников $$BAM$$ и $$BMC$$ имеем
$$S_{BAM}=k\cdot S_{BMC}=k(k+1)^2S_2.$$
Следовательно,
$$S_{ABC}=S_{BAM}+S_{BMC}=(k+1)^3S_2.$$
С другой стороны, из первого вывода
$$S_{ABC}=\frac{(k+1)^3}{k}S_1.$$
Приравниваем:
$$\frac{(k+1)^3}{k}S_1=(k+1)^3S_2,$$
откуда
$$k^3=\frac{S_1}{S_2}, \qquad k=\sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}.$$
Тогда
$$S_{ABC}=(k+1)^3S_2=\left(\sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}+1\right)^3S_2.$$
Преобразуем:
$$S_{ABC}=\frac{\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3}{S_2}\cdot S_2=\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3.$$
Ответ
$$S_{ABC}=\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3.$$
