Упр.844 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты точки $$M$$ и $$K$$, а на отрезке $$MK$$ — точка $$P$$ так, что $$\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если площади треугольников $$AMP$$ и $$BKP$$ равны $$S_1$$ и $$S_2$$.
2. Внутри прямоугольника $$ABCD$$ взята точка $$M$$. Известно, что $$MB=a$$, $$MC=b$$ и $$MD=c$$. Найдите длину отрезка $$MA$$.

Пусть $$\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}=k.$$

Тогда

$$\frac{S_{AMP}}{S_{APK}}=\frac{MP}{PK}=k,$$

значит

$$S_{APK}=\frac{S_1}{k}.$$

Следовательно,

$$S_{AMK}=S_{AMP}+S_{APK}=S_1+\frac{S_1}{k}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1.$$

Так как $$\frac{AM}{MC}=k,$$ то

$$\frac{S_{KAM}}{S_{KMC}}=k,$$

откуда

$$S_{KMC}=\frac{S_{KAM}}{k}=\frac{\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1}{k}=\frac{k+1}{k^2}S_1.$$

Тогда

$$S_{ACK}=S_{AMK}+S_{KMC}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1+\frac{k+1}{k^2}S_1=\frac{(k+1)^2}{k^2}S_1.$$

Аналогично, из равенства $$\frac{CK}{KB}=k$$ получаем

$$\frac{S_{AKB}}{S_{AKC}}=k,$$

и потому

$$S_{AKB}=\frac{1}{k}S_{AKC}=\frac{1}{k}\cdot \frac{(k+1)^2}{k^2}S_1=\frac{(k+1)^2}{k^3}S_1.$$

Следовательно,

$$S_{ABC}=S_{ACK}+S_{AKB}=\frac{(k+1)^3}{k^3}S_1.$$

С другой стороны, рассмотрим треугольники с вершиной $$B$$:

$$\frac{S_{BMP}}{S_{BPK}}=\frac{MP}{PK}=k,$$

значит

$$S_{BMP}=kS_2,$$

и

$$S_{BMK}=S_{BMP}+S_{BPK}=(k+1)S_2.$$

Далее, из $$\frac{CK}{KB}=k$$ имеем

$$\frac{S_{MCK}}{S_{MKB}}=k,$$

поэтому

$$S_{MCK}=k(k+1)S_2.$$

Тогда

$$S_{MCB}=S_{MCK}+S_{MKB}=(k+1)^2S_2.$$

И, наконец, из $$\frac{AM}{MC}=k$$ получаем

$$\frac{S_{BAM}}{S_{BMC}}=k,$$

откуда

$$S_{BAM}=k(k+1)^2S_2.$$

Следовательно,

$$S_{ABC}=S_{BAM}+S_{BMC}=(k+1)^3S_2.$$

Приравнивая два выражения для площади $$S_{ABC},$$ получаем

$$\frac{(k+1)^3}{k^3}S_1=(k+1)^3S_2,$$

$$\frac{S_1}{k^3}=S_2,$$

$$k^3=\frac{S_1}{S_2}, \qquad k=\sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=(k+1)^3S_2=\left(\sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}+1\right)^3S_2.$$

Преобразуем:

$$S_{ABC}=\left(\frac{\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}}{\sqrt[3]{S_2}}\right)^3S_2=\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3.$$

Ответ: $$\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3.$$