Упр.843 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки М и К. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника СМК, если площади треугольников ОМА, ОАВ и ОВК равны соответственно S1, S2, S3. Сторона АВ треугольника ABC продолжена за точку А на отрезок AD, равный АС. На лучах ВА и ВС взяты точки К и М так, что площади треугольников BDM и ВСК равны. Найдите угол ВКМ, если угол BAC = а.
1) Обозначим площадь треугольника $$ABC$$ через $$S$$, а искомую площадь треугольника $$CMK$$ — через $$x$$.
Тогда
$$S=S_{OMA}+S_{OAB}+S_{OBK}+S_{CMK}=S_1+S_2+S_3+x.$$
Рассмотрим треугольники $$AMB$$ и $$AMK$$. У них общая высота, опущенная из точки $$M$$ на прямую $$AB$$, поэтому
$$\frac{S_{AMK}}{S_{AMB}}=\frac{KF}{BE}.$$
С другой стороны, из подобия соответствующих треугольников, образованных пересечением прямых $$AK$$ и $$BM$$, получаем
$$\frac{KF}{BE}=\frac{MC}{BE}=\frac{x}{S-(S_1+S_2)}=\frac{x}{S_3+x}.$$
Кроме того, из отношения площадей треугольников с общей высотой имеем
$$\frac{S_3}{S_2}=\frac{OK}{OA}, \qquad S_4=\frac{S_1S_3}{S_2},$$
где $$S_4=S_{MOK}$$.
Тогда
$$x=S_{CMK}=\frac{S_1S_3(S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2\bigl(S_2^2-S_1S_3\bigr)}.$$
2) Теперь решим вторую задачу.
Так как $$S_{BDM}=S_{BCK}$$, а угол $$\angle B$$ у этих треугольников общий, то
$$BD\cdot BM=BK\cdot BC.$$
Отсюда
$$\frac{BD}{BK}=\frac{BC}{BM}.$$
Следовательно, $$\triangle BKM \sim \triangle BDC$$, значит
$$\angle BKM=\angle BDC.$$
Так как $$D \in BA$$ и $$AD=DC$$, то треугольник $$ADC$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:
$$\angle DAC=\angle ACD.$$
Но $$\angle DAC=\angle BAC=\alpha$$, значит
$$\angle ADC=180^\circ-2\alpha.$$
Тогда
$$\angle BKM=\angle BDC=\angle ADC=\frac{\alpha}{2}.$$
Ответ
$$S_{CMK}=\frac{S_1S_3(S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2\bigl(S_2^2-S_1S_3\bigr)}, \qquad \angle BKM=\frac{\alpha}{2}.$$
