Упр.843 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты соответственно точки $$M$$ и $$K$$. Отрезки $$AK$$ и $$BM$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$CMK$$, если площади треугольников $$OMA$$, $$OAB$$ и $$OBK$$ равны соответственно $$S_1$$, $$S_2$$, $$S_3$$.
Сторона $$AB$$ треугольника $$ABC$$ продолжена за точку $$A$$ на отрезок $$AD$$, равный $$AC$$. На лучах $$BA$$ и $$BC$$ взяты точки $$K$$ и $$M$$ так, что площади треугольников $$BDM$$ и $$BCK$$ равны. Найдите угол $$BKM$$, если угол $$BAC = \alpha$$.

Подробный ответ

Так как $$S_{BDM}=S_{BCK},$$ то при общем угле при вершине $$B$$ получаем

$$BD\cdot BM=BK\cdot BC.$$

Отсюда

$$\frac{BD}{BK}=\frac{BC}{BM}.$$

Следовательно, треугольники $$BKM$$ и $$BDC$$ подобны, значит

$$\angle BKM=\angle BDC.$$

Так как $$AD=DC,$$ то треугольник $$ADC$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle DAC=\angle ACD.$$

Но $$\angle DAC=\angle BAC=\alpha,$$ поэтому

$$\angle ADC=180^\circ-2\alpha.$$

Тогда