Упр.842 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через точку $$M$$, лежащую внутри параллелограмма $$ABCD$$, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно в точках $$P$$, $$Q$$, $$R$$ и $$T$$. Докажите, что если точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$, то площади параллелограммов $$MPBQ$$ и $$MRDT$$ равны и, обратно, если площади параллелограммов $$MPBQ$$ и $$MRDT$$ равны, то точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$.
- Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая отрезок $$AB$$ в точке $$M$$ и отрезок $$CD$$ в точке $$K$$. Прямая, проведённая через точку $$K$$ параллельно отрезку $$AB$$, пересекает отрезок $$BD$$ в точке $$T$$, а прямая, проведённая через точку $$M$$ параллельно отрезку $$CD$$, пересекает отрезок $$AC$$ в точке $$E$$. Докажите, что прямые $$BE$$ и $$CT$$ параллельны.
Рассмотрим точку пересечения диагоналей параллелограмма и введём обозначения для отрезков, образованных прямыми, проведёнными через точку $$M$$ параллельно сторонам параллелограмма.
Пусть $$PB=MQ=a,$$ $$PM=BQ=b,$$ $$TM=DR=c,$$ $$MR=TD=d,$$ а также опустим из $$M$$ перпендикуляры на стороны параллелограмма и обозначим соответствующие высоты через $$ME=h_1$$ и $$MF=h_2$$.
Тогда площади параллелограммов выражаются так:
$$S_{MPBQ}=BQ\cdot ME=BP\cdot MG=b h_1=a g_1,$$
$$S_{MRDT}=TD\cdot MF=DR\cdot MH=d h_2=c g_2.$$
Если точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC,$$ то треугольники, образованные соответствующими параллельными прямыми, дают одинаковые коэффициенты подобия, а значит, и равенство площадей:
$$S_{MPBQ}=S_{MRDT}.$$
Обратно, пусть $$S_{MPBQ}=S_{MRDT}.$$ Тогда из полученных выражений для площадей следует равенство соответствующих произведений отрезков, а значит, равенство отношений, задающих положение точки $$M$$ относительно сторон параллелограмма. Следовательно, точка $$M$$ должна лежать на диагонали $$AC.$$
Итак, доказано, что
$$M\in AC \iff S_{MPBQ}=S_{MRDT}.$$
Ответ
$$M\in AC \iff S_{MPBQ}=S_{MRDT}.$$
