Упр.841 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.
Прямая, проходящая через вершину $$C$$ параллелограмма $$ABCD$$, пересекает прямые $$AB$$ и $$AD$$ в точках $$K$$ и $$M$$. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников $$KBC$$ и $$CDM$$ равны соответственно $$S_1$$ и $$S_2$$.

Подробный ответ

а) Пусть у треугольника $$ABC$$ есть ось симметрии $$MN$$.

Ось симметрии при отражении переводит фигуру саму в себя, значит, вершины треугольника должны переходить в вершины треугольника. Прямая $$MN$$ не может пересекать стороны треугольника в двух точках и не проходить через вершину, иначе образ треугольника не совпадал бы с ним самим. Следовательно, ось симметрии проходит через одну из вершин треугольника и середину противоположной стороны.

Пусть $$MN$$ проходит через вершину $$B$$ и пересекает сторону $$AC$$ в точке $$O$$. Тогда по определению оси симметрии точка $$A$$ переходит в точку $$C$$, а значит, $$O$$ — середина отрезка $$AC$$ и $$BO \perp AC$$.

Итак, $$BO$$ — одновременно медиана и высота треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$AB=BC$$, то есть треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

б) Если у треугольника более одной оси симметрии, то рассмотрим две из них, например $$AD$$ и $$BE$$.

По пункту а) каждая ось симметрии треугольника проходит через вершину и середину противоположной стороны. Тогда:

ось $$AD$$ даёт $$AB=AC$$;
ось $$BE$$ даёт $$AB=BC$$.

Отсюда получаем:

$$AB=BC=AC.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний.

У равностороннего треугольника каждая прямая, проходящая через вершину и середину противоположной стороны, является осью симметрии. Поэтому у него не может быть более трёх осей симметрии.