Упр.840 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали.
- Точка $$A$$ лежит внутри угла, равного $$60^\circ$$. Расстояния от точки $$A$$ до сторон угла равны $$a$$ и $$b$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до вершины угла.
Пусть вершина угла — точка $$O$$, а точка $$A$$ лежит внутри угла. Обозначим через $$C$$ и $$M$$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $$A$$ на стороны угла. Тогда
$$AC=a,\qquad AM=b,\qquad \angle COM=60^\circ.$$
Рассмотрим четырёхугольник $$OKAM$$, где $$K$$ — вершина угла, а $$O$$ и $$M$$ лежат на его сторонах. Так как сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, в этот четырёхугольник можно вписать окружность с диаметром $$AO$$.
Пусть радиус этой окружности равен $$R$$. Тогда
$$AO=2R.$$
Из равенства углов при вершине $$O$$ получаем, что
$$\angle KCM=2\cdot 60^\circ=120^\circ.$$
Треугольник $$KCM$$ равнобедренный, поэтому его высота $$CH$$ является также медианой и биссектрисой. Тогда
$$\angle KCH=60^\circ,\qquad \angle KHC=90^\circ,$$
а значит
$$KH=CK\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}R,$$
следовательно,
$$KM=2KH=R\sqrt3.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$KAM$$. В нём
$$\angle KAM=360^\circ-2\cdot 90^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
По теореме косинусов:
$$KM^2=AK^2+AM^2-2\cdot AK\cdot AM\cos120^\circ.$$
Подставим данные:
$$(R\sqrt3)^2=a^2+b^2-2ab\cdot\left(-\frac12\right),$$
$$3R^2=a^2+b^2+ab.$$
Отсюда
$$R=\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}.$$
Тогда
$$AO=2R=2\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}.$$
Ответ: $$AO=2\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}.$$
