Упр.840 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали. Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны а и b. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.

Обозначим вершину угла через $O$, а точку $A$ — внутри угла. Пусть расстояния от точки $A$ до сторон угла равны $a$ и $b$, а сам угол равен $60^\circ$.

Проведём через точку $A$ прямые, параллельные сторонам угла. Тогда вместе со сторонами угла они образуют прямоугольник, а расстояния $a$ и $b$ являются его высотами к сторонам угла.

Рассмотрим треугольник, образованный вершиной угла и точкой $A$. По условию угол между сторонами равен $60^\circ$, значит в соответствующем треугольнике можно применить теорему косинусов. Если обозначить расстояние от точки $A$ до вершины угла через $x$, то получаем:

$$x^2=a^2+b^2-2ab\cos 60^\circ$$
$$x^2=a^2+b^2-ab$$

Следовательно,

$$x=\sqrt{a^2+b^2-ab}$$

Ответ

$$\sqrt{a^2+b^2-ab}$$