Упр.84 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Известно, что $$\angle AOB = 35^\circ$$, $$\angle BOC = 50^\circ$$. Найдите $$\angle AOC$$. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.
2. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть углы $$\angle hi$$ и $$\angle gk$$ — вертикальные. Тогда они равны.

Пусть $$m$$ — биссектриса угла $$\angle hi$$, а $$f$$ — биссектриса угла $$\angle gk$$. Тогда

$$\angle mh i=\frac{1}{2}\angle hi,\qquad \angle fgk=\frac{1}{2}\angle gk.$$

Так как $$\angle hi=\angle gk$$, то их половины равны, значит

$$\angle mh i=\angle fgk.$$

Кроме того, углы $$\angle hg$$ и $$\angle gk$$ смежные, поэтому

$$\angle hg+\angle gk=180^\circ.$$

Тогда и углы, образованные их биссектрисами, в сумме дают $$180^\circ$$, следовательно, лучи $$m$$ и $$f$$ являются противоположными, то есть лежат на одной прямой.

Значит, биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.