Упр.838 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Внутри квадрата ABCD взята такая точка M, что $$\angle MAB=60^\circ$$, $$\angle MCD=15^\circ$$. Найдите угол MBC.
2. Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.

Обозначим сторону квадрата через $$a.$$

Рассмотрим треугольник $$AMD.$$ Так как в квадрате $$\angle DAB=90^\circ,$$ то

$$\angle MAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

А поскольку $$\angle MCD=15^\circ,$$ то в треугольнике $$MCD$$ имеем

$$\angle MDC=90^\circ-15^\circ=75^\circ.$$

Тогда

$$\angle AMD=180^\circ-(30^\circ+75^\circ)=75^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle AMD$$ равнобедренный, значит

$$AM=AD=a.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABM.$$ В нём

$$AB=AM=a,$$

поэтому он равнобедренный. Кроме того,

$$\angle MAB=60^\circ.$$

Тогда углы при основании равны:

$$\angle ABM=\angle AMB=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Значит, $$\triangle ABM$$ равносторонний, и потому

$$\angle MBC=90^\circ-\angle ABM=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ.$$