Упр.837 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму $$\angle BAE+\angle CAE+\angle DAE$$.
2. Сторона $$AB$$ параллелограмма $$ABCD$$ продолжена за точку $$B$$ на отрезок $$BE$$, а сторона $$AD$$ продолжена за точку $$D$$ на отрезок $$DK$$. Прямые $$ED$$ и $$KB$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что площади четырёхугольников $$ABOD$$ и $$CEOK$$ равны.

Пусть $$F=BC\cap DE,$$ $$G=KB\cap DC.$$

Тогда

$$S_{ABOD}=S_{ABD}+S_{BOD}=\frac12S_{ABCD}+S_{BOD}.$$

Так как четырёхугольник $$BODG$$ состоит из треугольников $$BOD$$ и $$BOG,$$ а четырёхугольник $$CGOD$$ — из треугольников $$CGO$$ и $$OGD,$$ то

$$S_{BOD}=S_{BOG}-S_{OGD},$$

$$S_{CGK}=S_{CDK}-S_{DGK}.$$

Аналогично

$$S_{CEOK}=S_{CED}-S_{AGD}+S_{CGK}=\frac12S_{ABCD}+S_{CGK}-S_{OGD}.$$

Остаётся заметить, что треугольники $$BDK$$ и $$CDK$$ имеют общее основание $$DK$$ и равные высоты, так как $$ABCD$$ — параллелограмм. Значит,

$$S_{BDK}=S_{CDK},$$

откуда следует

$$S_{BOG}=S_{CGK}.$$

Тогда

$$S_{ABOD}=\frac12S_{ABCD}+S_{BOG}-S_{OGD}$$

и

$$S_{CEOK}=\frac12S_{ABCD}+S_{CGK}-S_{OGD}.$$

Следовательно,

$$S_{ABOD}=S_{CEOK}.$$