Упр.836 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что AM = ВК + DM. Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точках М и К. Докажите, что площади треугольников DCM и АКВ равны.

Подробный ответ

Обозначим через $$E$$ точку пересечения прямой, проходящей через середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$, с диагональю $$AC$$, а через $$F$$ — с диагональю $$BD$$. Тогда по условию $$AE=EC$$ и $$BF=FD$$.

Рассмотрим треугольники $$AMK$$ и $$CMK$$. У них общая высота, опущенная из точки $$K$$ на прямую $$AC$$, а основания $$AM$$ и $$MC$$ лежат на одной прямой $$AC$$. Поэтому

$$S_{AMK}=S_{CMK}.$$

Аналогично, для треугольников $$BMF$$ и $$DMF$$, имеющих общую высоту из точки $$M$$ к прямой $$BD$$ и равные основания $$BF$$ и $$FD$$, получаем

$$S_{BMF}=S_{DMF}.$$

Теперь сложим эти равенства:

$$S_{AMK}+S_{BMF}=S_{CMK}+S_{DMF}.$$

Но треугольники $$AMK$$ и $$BMF$$ составляют треугольник $$AKB$$, а треугольники $$CMK$$ и $$DMF$$ — треугольник $$DCM$$. Следовательно,

$$S_{AKB}=S_{DCM}.$$