Упр.836 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На стороне $$CD$$ квадрата $$ABCD$$ отмечена точка $$M$$. Биссектриса угла $$BAM$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Докажите, что $$AM = BK + DM$$.
- Прямая, проходящая через середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$, пересекает стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$K$$. Докажите, что площади треугольников $$DCM$$ и $$AKB$$ равны.
Обозначим через $$E$$ середину диагонали $$AC$$, а через $$F$$ середину диагонали $$BD$$. По условию прямая $$EF$$ пересекает стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$K$$.
Рассмотрим треугольники $$AMK$$ и $$CMK$$. У них общая высота, опущенная из точки $$K$$ на прямую $$AB$$, а также из точки $$M$$ на прямую $$CD$$, поэтому достаточно сравнить соответствующие основания. Но так как $$E$$ — середина $$AC$$, то в треугольнике $$AMC$$ прямая $$EF$$ проходит через середину одной стороны и параллельна второй диагонали, а значит, делит треугольник на части равной площади.
Аналогично, поскольку $$F$$ — середина $$BD$$, прямая $$EF$$ делит треугольник $$BCD$$ на части равной площади. Следовательно, площади треугольников, лежащих по разные стороны от прямой $$EF$$ и имеющих общую высоту, равны попарно:
$$S_{AMK}=S_{CMK},$$
$$S_{BMK}=S_{DMK}.$$
Сложим эти равенства:
$$S_{AMK}+S_{BMK}=S_{CMK}+S_{DMK}.$$
Левая часть равна площади четырёхугольника $$ABMK$$, а правая — площади четырёхугольника $$CDMK$$. Так как обе фигуры имеют общую часть и построены на параллельных основаниях, получаем
$$S_{AKB}=S_{DCM}.$$
Значит, площади треугольников $$DCM$$ и $$AKB$$ равны.
Ответ
$$S_{DCM}=S_{AKB}.$$
