Упр.835 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.
- Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.
Пусть стороны параллелограмма $$ABCD$$ равны $$AB=CD$$ и $$AD=BC$$.
Поскольку на сторонах параллелограмма вне его построены квадраты, то диагонали каждого квадрата пересекаются в его центре. Обозначим эти точки через $$E, F, G, H$$.
Из свойств квадрата получаем:
$$AE=EB,\quad BF=FC,\quad CG=GD,\quad AH=HD,$$
а также диагонали квадратов взаимно перпендикулярны и делятся пополам.
Рассмотрим углы при точках $$E, F, G, H$$. Так как смежные стороны параллелограмма образуют углы $$\angle A$$ и $$\angle B$$, а стороны квадратов перпендикулярны соответствующим сторонам параллелограмма, то
$$\angle AEB=\angle BFC=\angle CGD=\angle DHA=90^\circ.$$
Кроме того, из равенства сторон параллелограмма и одинакового построения квадратов следует, что
$$AE=BF=CG=HD.$$
Аналогично получаем равенство и других соответствующих отрезков, поэтому
$$EF=FG=GH=HE.$$
Следовательно, $$EFGH$$ — ромб.
Теперь найдём один из его углов. Так как диагонали квадратов взаимно перпендикулярны, а стороны квадратов образуют прямые углы, то угол между соседними сторонами ромба равен $$90^\circ$$. Значит,
$$\angle E=\angle F=\angle G=\angle H=90^\circ.$$
Итак, ромб с прямым углом является квадратом. Следовательно, $$EFGH$$ — квадрат.
