Упр.834 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат.
- Диагонали трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$BC$$ и $$AD$$ пересекаются в точке $$O$$. Площади треугольников $$BOC$$ и $$AOD$$ равны $$S_1$$ и $$S_2$$. Найдите площадь трапеции.
Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$DOA$$. Так как $$AD \parallel BC$$, то при секущей $$BD$$ имеем
$$\angle CBO=\angle ADO.$$
Кроме того, $$\angle BOC=\angle DOA$$ как вертикальные углы. Значит, $$\triangle BOC \sim \triangle DOA$$ по двум углам.
Пусть коэффициент подобия равен $$k$$. Тогда
$$k^2=\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{S_1}{S_2}, \qquad k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}.$$
Из подобия треугольников получаем
$$\frac{AO}{CO}=\frac{1}{k}, \qquad \frac{BO}{DO}=k.$$
Теперь выразим площади частей трапеции:
$$S_{DAC}=S_{DAO}+S_{DCO}.$$
Так как $$\frac{S_{DCO}}{S_{DAO}}=\frac{CO}{AO}=\frac{1}{k},$$ то
$$S_{DAC}=(1+k)S_2.$$
Аналогично
$$S_{BAC}=S_{BAO}+S_{BCO}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1.$$
Следовательно, площадь трапеции равна
$$S_{ABCD}=S_{DAC}+S_{BAC} =(1+k)S_2+\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1.$$
Подставим $$k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$$:
$$S_{ABCD} =S_2+\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}\,S_2+S_1+\sqrt{\frac{S_2}{S_1}}\,S_1 =S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}+\sqrt{S_1S_2}.$$
Итак,
$$S_{ABCD}=S_1+S_2+2\sqrt{S_1S_2}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2.$$
Ответ: $$S_{ABCD}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2.$$
