Упр.833 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Подробный ответ

Рассмотрим равнобедренную трапецию $$ABCD$$, где $$AD \parallel BC$$ и $$AB=CD$$. Пусть $$E$$ и $$F$$ — середины оснований $$AD$$ и $$BC$$ соответственно.

Продолжим боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ до пересечения в точке $$M$$. Тогда в треугольниках $$MAD$$ и $$MBC$$:

$$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C,$$

значит, $$\triangle MAD \sim \triangle MBC$$. Так как $$AB=CD$$, то эти треугольники равны, следовательно,

$$MA=MD,\qquad MB=MC.$$

Из равенства $$MA=MD$$ и того, что $$E$$ — середина $$AD$$, получаем: $$ME$$ — медиана в равнобедренном треугольнике $$MAD$$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, значит

$$ME \perp AD.$$

Аналогично, из $$MB=MC$$ и того, что $$F$$ — середина $$BC$$, следует, что $$MF$$ — высота треугольника $$MBC$$, то есть

$$MF \perp BC.$$

Но $$AD \parallel BC$$, поэтому прямая, перпендикулярная $$AD$$, перпендикулярна и $$BC$$. Следовательно,

$$ME \perp BC.$$

Через точку $$M$$ к прямой $$BC$$ можно провести только один перпендикуляр, значит, точки $$E$$, $$F$$ и $$M$$ лежат на одной прямой. Поэтому прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна основаниям.

Сформулируем обратное утверждение: если в трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобедренная.

Докажем его. Пусть в трапеции $$ABCD$$, где $$AD \parallel BC$$, точки $$E$$ и $$F$$ — середины оснований $$AD$$ и $$BC$$, причём $$EF \perp AD$$ и $$EF \perp BC$$. Тогда $$EF$$ — ось симметрии трапеции, а значит, боковые стороны равны:

$$AB=CD.$$

Следовательно, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.

Ответ

Прямая, соединяющая середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна основаниям. Обратно: если прямая, соединяющая середины оснований трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобедренная.