Упр.832 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку. Точки Р, Q, R и Т соответственно — середины сторон АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, СТ и DP образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD.
Обозначим через $$E$$ точку пересечения прямых $$AQ$$ и $$DF$$, через $$F$$ — прямых $$BR$$ и $$AQ$$, через $$G$$ — прямых $$CT$$ и $$BR$$, через $$H$$ — прямых $$DP$$ и $$CT$$.
Докажем, что $$EFGH$$ — параллелограмм.
Рассмотрим треугольники $$ABQ$$ и $$CDT$$. Так как $$P, Q, R, T$$ — середины сторон параллелограмма, то
$$AB=CD,\qquad BQ=DT=\frac12 AD,\qquad \angle B=\angle D.$$
Следовательно, $$\triangle ABQ \cong \triangle CDT$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$\angle BQA=\angle DTC.$$
Но $$AD \parallel BC$$, а прямая $$AQ$$ пересекает эти параллельные прямые, значит
$$\angle BQA=\angle DAQ.$$
Тогда
$$\angle DTC=\angle DAQ,$$
то есть $$AQ \parallel CT$$.
Аналогично рассмотрим треугольники $$BCR$$ и $$DAP$$. Имеем
$$BC=DA,\qquad CR=AP=\frac12 AB,\qquad \angle C=\angle A.$$
Значит, $$\triangle BCR \cong \triangle DAP$$, откуда
$$\angle BRC=\angle DPA.$$
Так как $$BC \parallel AD$$, то соответствующие углы равны, и получаем
$$BR \parallel DP.$$
Итак, $$AQ \parallel CT$$ и $$BR \parallel DP$$, следовательно, четырёхугольник $$EFGH$$ — параллелограмм.
Найдём отношение площадей.
Пусть $$S_{ABCD}=S$$. Тогда треугольник $$AQC$$ имеет основание $$QC=\frac12 BC$$ и ту же высоту, что и параллелограмм, поэтому
$$S_{AQC T}=\frac12 S.$$
Аналогично
$$S_{PBRD}=\frac12 S.$$
Рассмотрим треугольник $$DHT$$. Так как $$DT=\frac12 DA$$, то
$$S_{DHT}=\frac12 \cdot \frac12 S_{DAB}=\frac14 S_{DAB}.$$
Но $$S_{DAB}=\frac12 S$$, значит
$$S_{DHT}=\frac18 S.$$
Площадь параллелограмма $$EFGH$$ равна площади фигуры $$AQCT$$ без шести равных треугольников, подобных $$DHT$$:
$$S_{EFGH}=S_{AQCT}-6S_{DHT}=\frac12 S-6\cdot \frac18 S=\frac15 S.$$
Следовательно,
$$\frac{S_{EFGH}}{S_{ABCD}}=\frac15.$$
Ответ
$$EFGH$$ — параллелограмм, $$\dfrac{S_{EFGH}}{S_{ABCD}}=\dfrac15$$.
