Упр.832 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.
- Точки $$P$$, $$Q$$, $$R$$ и $$T$$ соответственно — середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что при пересечении прямых $$AQ$$, $$BR$$, $$CT$$ и $$DP$$ образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма $$ABCD$$.
Пусть дана прямая $$a$$ и точка $$C$$, не лежащая на этой прямой. Проведём через точку $$C$$ перпендикуляр к прямой $$a$$ и обозначим точку пересечения с прямой $$a$$ через $$A_1$$.
Тогда $$A_1$$ — середина отрезка $$AC$$, так как $$CA_1 \perp a$$ и точка $$A_1$$ лежит на прямой $$a$$. Значит, $$AA_1=A_1C=\frac12 AC$$.
Через точку $$A_1$$ проведём прямую $$b$$, параллельную прямой $$a$$. Возьмём на прямой $$a$$ произвольную точку $$X$$ и соединим её с точкой $$C$$. Пусть $$X_1=b\cap CX$$.
Рассмотрим треугольник $$ACX$$. Точка $$A_1$$ — середина стороны $$AC$$, а прямая через неё, параллельная стороне $$AX$$, пересекает сторону $$CX$$ в точке $$X_1$$. По теореме о средней линии треугольника точка $$X_1$$ является серединой отрезка $$CX$$.
Следовательно, середины всех отрезков, соединяющих точку $$C$$ со всеми точками прямой $$a$$, лежат на одной прямой $$b$$, параллельной прямой $$a$$, и эта прямая находится на половине расстояния от точки $$C$$ до прямой $$a$$.
Ответ: множество середин всех таких отрезков — прямая, параллельная данной прямой и проходящая на половине расстояния от точки до этой прямой.
