Упр.831 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
2. На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты точки $$M$$ и $$K$$, а на отрезке $$MK$$ — точка $$P$$ так, что $$\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если площади треугольников $$AMP$$ и $$BKP$$ равны $$S_1$$ и $$S_2$$.

Обозначим

$$\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}=k.$$

Тогда для треугольников с общей высотой отношение площадей равно отношению соответствующих оснований.

Ход решения

Из равенства $$\frac{MP}{PK}=k$$ получаем для треугольников $$AMP$$ и $$APK$$:

$$\frac{S_{AMP}}{S_{APK}}=\frac{MP}{PK}=k,$$

значит,

$$S_{APK}=\frac{S_1}{k}.$$

Тогда

$$S_{AMK}=S_{AMP}+S_{APK}=S_1+\frac{S_1}{k}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1.$$

Так как $$\frac{AM}{MC}=k,$$ то для треугольников $$KAM$$ и $$KMC$$ имеем:

$$\frac{S_{KAM}}{S_{KMC}}=\frac{AM}{MC}=k.$$

Но $$S_{KAM}=S_{AMK}$$, поэтому

$$S_{KMC}=\frac{1}{k}S_{KAM}=\frac{1}{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1=\frac{k+1}{k^2}S_1.$$

Следовательно,

$$S_{ACK}=S_{AKM}+S_{KMC}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1+\frac{k+1}{k^2}S_1=\frac{(k+1)^2}{k^2}S_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ACK$$ и $$ABK$$. Из $$\frac{CK}{KB}=k$$ получаем:

$$\frac{S_{ACK}}{S_{ABK}}=\frac{CK}{KB}=k,$$

значит,

$$S_{ABK}=\frac{1}{k}S_{ACK}=\frac{(k+1)^2}{k^3}S_1.$$

Тогда площадь всего треугольника $$ABC$$ равна

$$S_{ABC}=S_{ACK}+S_{ABK}=\frac{(k+1)^2}{k^2}S_1+\frac{(k+1)^2}{k^3}S_1=\frac{(k+1)^3}{k^3}S_1.$$

С другой стороны, аналогично, начиная с треугольника $$BPK$$, получаем:

$$S_{BPK}=S_2,\qquad S_{BMP}=kS_2,$$

$$S_{BMK}=S_{BMP}+S_{BPK}=(k+1)S_2,$$

$$S_{MCK}=k(k+1)S_2,$$

$$S_{MCB}=S_{MCK}+S_{MKB}=(k+1)^2S_2,$$

$$S_{BAM}=k(k+1)^2S_2,$$

и потому

$$S_{ABC}=S_{BAM}+S_{BMC}=(k+1)^3S_2.$$

Приравниваем два выражения для площади $$S_{ABC}$$:

$$\frac{(k+1)^3}{k^3}S_1=(k+1)^3S_2.$$

Сокращая на $$(k+1)^3$$, получаем

$$\frac{S_1}{k^3}=S_2,$$

откуда

$$k^3=\frac{S_1}{S_2},\qquad k=\sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=(k+1)^3S_2=\left(\sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}+1\right)^3S_2.$$

Преобразуем:

$$S_{ABC}=\left(\frac{\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}}{\sqrt[3]{S_2}}\right)^3S_2=\frac{\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3}{S_2}\cdot S_2.$$

Следовательно,

$$S_{ABC}=\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3.$$

Ответ

$$S_{ABC}=\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3.$$