Упр.830 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.
- На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты соответственно точки $$M$$ и $$K$$. Отрезки $$AK$$ и $$BM$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$CMK$$, если площади треугольников $$OMA$$, $$OAB$$ и $$OBK$$ равны соответственно $$S_1$$, $$S_2$$, $$S_3$$.
Обозначим $$P=AB+BC+CA.$$ Пусть $$AA_1,\;BB_1,\;CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$.
Докажем сначала, что сумма медиан меньше периметра.
Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$, в котором $$AA_1=A_1D=\dfrac{1}{2}AD.$$ Тогда
$$AD=BC,$$
а из неравенства треугольника для треугольника $$ABA_1$$ получаем
$$AA_1<AB+BA_1.$$
Так как $$BA_1=\dfrac{1}{2}BD$$, а в параллелограмме $$BD=AC+?$$ удобнее сразу записать аналогично для медиан через неравенство треугольника:
$$2AA_1<AB+AC,$$
откуда
$$AA_1<\dfrac{AB+AC}{2}.$$
Аналогично:
$$BB_1<\dfrac{AB+BC}{2}, \qquad CC_1<\dfrac{AC+BC}{2}.$$
Складывая эти неравенства, получаем
$$AA_1+BB_1+CC_1<\dfrac{AB+AC}{2}+\dfrac{AB+BC}{2}+\dfrac{AC+BC}{2}=AB+BC+CA=P.$$
Теперь докажем нижнюю оценку.
Из неравенства треугольника для треугольников $$ABA_1$$ и $$ACA_1$$ имеем:
$$AA_1+BA_1>AB,$$
$$AA_1+CA_1>AC.$$
Складывая, получаем
$$2AA_1+BA_1+CA_1>AB+AC,$$
откуда
$$AA_1>\dfrac{AB+AC-BC}{2}.$$
Аналогично:
$$BB_1>\dfrac{AB+BC-AC}{2}, \qquad CC_1>\dfrac{AC+BC-AB}{2}.$$
Складываем три неравенства:
$$AA_1+BB_1+CC_1>\dfrac{AB+AC-BC}{2}+\dfrac{AB+BC-AC}{2}+\dfrac{AC+BC-AB}{2}=\dfrac{P}{2}.$$
Следовательно,
$$\dfrac{P}{2}<AA_1+BB_1+CC_1<P.$$
Ответ
$$\dfrac{P}{2}<AA_1+BB_1+CC_1<P.$$
