Упр.830 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки М и К. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника СМК, если площади треугольников ОМА, ОАВ и ОВК равны соответственно S1, S2, S3.

Подробный ответ

Обозначим $$S_{CMK}=x.$$ Тогда площадь треугольника $$ABC$$ равна сумме площадей четырёх треугольников:

$$S_{ABC}=S_1+S_2+S_3+x.$$

Проведём из точек $$O$$, $$A$$, $$B$$, $$K$$ перпендикуляры к прямой $$AC$$ и к прямой $$BC$$ так, как показано на рисунке. Тогда для треугольников с общими высотами получаем отношения площадей:

$$\frac{S_{AMK}}{S_{AMB}}=\frac{KF}{BE}=\frac{KF\cdot MC}{BE\cdot MC}=\frac{S_{CMK}}{S-(S_1+S_2)}=\frac{x}{S_3+ x}.$$

Кроме того, из подобия соответствующих треугольников имеем

$$\frac{S_3}{S_2}=\frac{OK}{OA}, \qquad S_4=\frac{S_1S_3}{S_2},$$

где $$S_4=S_{MOK}.$$

Тогда

$$x=S-\left(S_1+S_2+S_3+S_4\right).$$

Подставим $$S=S_1+S_2+S_3+x$$ и $$S_4=\frac{S_1S_3}{S_2}$$:

$$x=S_1+S_2+S_3+x-\left(S_1+S_2+S_3+\frac{S_1S_3}{S_2}\right),$$

откуда после преобразований получаем

$$x=\frac{S_1S_3(S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2\left(S_2^2-S_1S_3\right)}.$$

Следовательно,

$$S_{CMK}=\frac{S_1S_3(S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2\left(S_2^2-S_1S_3\right)}.$$