Упр.829 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Прямая, проведённая через точку $$D$$ перпендикулярно к $$AD$$, пересекает прямую $$AC$$ в точке $$E$$. Точки $$M$$ и $$K$$ — основания перпендикуляров, проведённых из точек $$B$$ и $$D$$ к прямой $$AC$$. Найдите $$MK$$, если $$AE=a$$.
- Задание учебника 2023 года. Через точку $$M$$, лежащую внутри параллелограмма $$ABCD$$, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно в точках $$P$$, $$Q$$, $$R$$ и $$T$$. Докажите, что если точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$, то площади параллелограммов $$MPBQ$$ и $$MRDT$$ равны и, обратно, если площади параллелограммов $$MPBQ$$ и $$MRDT$$ равны, то точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$.
Обозначим через $$F$$ точку на стороне $$AB$$ такую, что $$DF\perp AB$$. Тогда треугольник $$FAE$$ прямоугольный, причём $$AD$$ — его биссектриса. Значит, $$AF=AE=a$$, а так как в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ биссектриса $$AD$$ является также медианой и высотой, то $$D$$ — середина отрезка $$FE$$.
Следовательно,
$$FD=DE=\frac12\,FE.$$
Проведём через точку $$D$$ прямую $$GD\parallel AC$$, где $$G\in AB$$. Тогда треугольники $$FGD$$ и $$FAE$$ подобны, поэтому
$$\frac{GD}{AE}=\frac{FD}{FE}=\frac12,$$
откуда
$$GD=\frac12\,AE=\frac a2.$$
Так как $$GD\parallel AC$$, то $$\triangle GBD\sim \triangle ABC$$. Поскольку $$AB=BC$$, получаем $$GB=GD$$, значит, треугольник $$GBD$$ равнобедренный с основанием $$GD$$.
Пусть $$H$$ — точка пересечения $$GD$$ и $$BM$$. Так как $$BM\perp AC$$ и $$GD\parallel AC$$, то $$BH\perp GD$$. В равнобедренном треугольнике $$GBD$$ высота $$BH$$ является также медианой, значит, $$H$$ — середина $$GD$$. Тогда
$$GH=HD=\frac12\,GD=\frac14\,a.$$
Теперь рассмотрим четырёхугольник $$MHDK$$. Имеем $$HM\perp AC$$ и $$DK\perp AC$$, значит, $$HM\parallel DK$$. Кроме того, $$HD\parallel AC$$ и $$MK\subset AC$$, значит, $$HD\parallel MK$$. Следовательно, $$MHDK$$ — параллелограмм, а значит,
$$MK=HD=\frac a4.$$
Ответ: $$\frac a4$$.
