Упр.828 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.
- Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.
Пусть у треугольника $$ABC$$ есть ось симметрии $$MN$$.
По определению оси симметрии фигура при отражении относительно прямой $$MN$$ переходит сама в себя. Значит, вершины треугольника либо попарно переходят друг в друга, либо одна из вершин лежит на оси симметрии.
Треугольник не может иметь ось симметрии, проходящую через две вершины: тогда он не отображался бы сам в себя. Следовательно, ось симметрии проходит через одну вершину треугольника и пересекает противоположную сторону.
Пусть, например, ось $$MN$$ проходит через вершину $$B$$ и пересекает сторону $$AC$$ в точке $$O$$. Тогда точки $$A$$ и $$C$$ симметричны относительно прямой $$MN$$, поэтому
$$AO=OC,$$
а прямая $$MN$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AC$$. Значит, $$BO$$ — высота и медиана треугольника $$ABC$$, то есть
$$AB=BC.$$
Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.
Если у треугольника более одной оси симметрии, то каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны. Тогда треугольник равнобедренный по каждому из этих оснований, а значит, все его стороны равны:
$$AB=BC=CA.$$
Итак, треугольник с более чем одной осью симметрии является равносторонним.
Ответ: а) треугольник равнобедренный; б) треугольник равносторонний.
