Упр.827 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются. Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали.
Пусть дан выпуклый четырёхугольник $$ABCD.$$ Докажем, что его диагонали пересекаются.
Так как четырёхугольник выпуклый, то точки $$C$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AB,$$ а точки $$A$$ и $$B$$ — по одну сторону от прямой $$CD.$$ Значит, точка $$C$$ лежит внутри угла $$BAD,$$ поэтому луч $$AC$$ пересекает отрезок $$BD$$ в некоторой точке $$M.$$ Следовательно, существует точка
$$M=AC\cap BD.$$
Аналогично, рассматривая прямую $$BC,$$ получаем, что луч $$BD$$ пересекает отрезок $$AC$$. Значит, точка $$M$$ является общей точкой диагоналей $$AC$$ и $$BD.$$
Итак, диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.
Построим равнобедренную трапецию по основаниям $$a$$ и $$b$$ и диагонали $$d$$, где $$a>b.$$
- Проведём произвольную прямую $$f$$ и отметим на ней точку $$A.$$
- На прямой $$f$$ отложим отрезок $$AD=a,$$ а затем на той же прямой — отрезок $$DI=b.$$
- Построим окружность с центром $$A$$ и радиусом $$d$$ и окружность с центром $$I$$ и радиусом $$d.$$ Их радиусы равны диагоналям трапеции.
- Точку $$C$$ возьмём в верхней точке пересечения этих окружностей.
- Через точку $$D$$ проведём прямую $$k,$$ параллельную $$CI,$$ а через точку $$A$$ — прямую $$h,$$ параллельную $$CD.$$
- Точка $$B$$ будет точкой пересечения прямых $$h$$ и $$k.$$ Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — искомая равнобедренная трапеция.
Поскольку $$AD \parallel BC,$$ а также $$AB=CD,$$ получаем равнобедренную трапецию с основаниями $$AD$$ и $$BC.$$
Ответ
Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются. Равнобедренная трапеция строится по описанному алгоритму.
