Упр.826 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
- На сторонах треугольника $$ABC$$ во внешнюю сторону построены квадраты $$BCDE$$, $$ACTM$$, $$BAHK$$, а затем параллелограммы $$TCDQ$$ и $$EBKP$$. Докажите, что треугольник $$APQ$$ прямоугольный и равнобедренный.
Обозначим $$AB=c,$$ $$BC=a,$$ $$\angle A=\alpha,$$ $$\angle B=\beta.$$
Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$QCD.$$ У них
$$AC=TC=QD=b,$$
$$BC=CD=a,$$
$$\angle EDQ=\angle BCT+90^\circ,$$ значит $$\angle CDQ=\angle C.$$
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников $$\triangle ABC=\triangle QCD.$$ Отсюда
$$CQ=c,$$
и
$$\angle ACQ=360^\circ-90^\circ-(\angle C+\angle B)=90^\circ+\alpha.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$PEB.$$ Имеем
$$AB=KB=PE=c,$$
$$BC=EB=a,$$
$$\angle PEB=180^\circ-\angle KBE=180^\circ-(360^\circ-290^\circ-\angle B)=\angle B.$$
По первому признаку равенства треугольников $$\triangle ABC=\triangle PEB.$$ Значит,
$$PB=b,$$
а также
$$\angle PBA=360^\circ-90^\circ-(\angle C+\angle B)=90^\circ+\alpha.$$
Рассмотрим треугольники $$PBA$$ и $$ACQ.$$ Так как
$$\angle PBA=\angle ACQ=90^\circ+\alpha,$$
$$BA=CQ=c,$$
$$PB=AC=b,$$
то по первому признаку равенства треугольников $$\triangle PBA=\triangle ACQ.$$ Следовательно,
$$PA=AQ,$$
то есть $$\triangle APQ$$ равнобедренный с основанием $$PQ.$$
Кроме того,
$$\angle PBA=\angle CAQ=\gamma,$$
$$\angle BAP=\angle CQA=\beta.$$
Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, поэтому
$$\gamma+\delta+(90^\circ+\alpha)=180^\circ,$$
откуда
$$\gamma+\delta+\alpha=90^\circ.$$
Тогда угол при вершине $$A$$ треугольника $$APQ$$ равен
$$\angle PAQ=\angle BAP+\angle A+\angle CAQ=\delta+\alpha+\gamma=90^\circ.$$
Значит, $$\triangle APQ$$ прямоугольный и равнобедренный.
