Упр.825 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Положительные числа а1, а2, а3, а4, а5 и а6 удовлетворяют условиям а1-а4 = а5 — а2 = a3-a6. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны, причём А1А2 = а1, А2А3 = а2, А3А4= а3, А4А5 = а4, A5A6 =a5 и А6А1 = а6. Внутри квадрата ABCD взята такая точка М, что угол MAB = 60°, угол MCD=15°. Найдите угол MBC.

Обозначим сторону квадрата через $$a$$.

Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Так как $$\angle MAB=60^\circ$$ и $$AB\perp AD$$, то

$$\angle MAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Аналогично, поскольку $$CD\perp AD$$, имеем

$$\angle MDA=90^\circ-15^\circ=75^\circ.$$

Тогда

$$\angle AMD=180^\circ-(30^\circ+75^\circ)=75^\circ.$$

Следовательно, $$\angle AMD=\angle MDA$$, значит, треугольник $$AMD$$ равнобедренный, и потому

$$AM=AD=a.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABM$$. В нём

$$AB=AM=a,$$

значит, треугольник $$ABM$$ равнобедренный. Кроме того,

$$\angle BAM=60^\circ.$$

Тогда его углы при основании равны:

$$\angle ABM=\angle AMB=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABM$$ равносторонний, и поэтому

$$\angle MBA=60^\circ.$$

Так как в квадрате $$\angle ABC=90^\circ$$, то

$$\angle MBC=\angle ABC-\angle MBA=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Ответ

$$30^\circ$$