Упр.824 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан выпуклый шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$, все углы которого равны. Докажите, что $$A_1A_2-A_4A_5=A_5A_6-A_2A_3=A_3A_4-A_6A_1$$.
2. На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму углов $$\angle BAE+\angle CAE+\angle DAE$$.

Так как диагональ квадрата является биссектрисой угла, то

$$\angle BAE=\angle BAF=45^\circ.$$

Достроим чертёж, как показано на рисунке, добавив ещё несколько квадратов. Тогда получим равнобедренный треугольник $$KAC$$ с основанием $$KC$$, в котором $$AH$$ является высотой, биссектрисой и медианой. Следовательно,

$$\angle CAE=\angle CAH=\angle KAH,$$

а также

$$\angle KAD=\angle CAE+\angle DAE.$$

Треугольник $$AKS$$ тоже равнобедренный по построению, поэтому $$\angle AKS=90^\circ$$. Его углы при основании равны:

$$\angle SAK=\angle ASK=45^\circ=\angle BAE.$$

Тогда

$$\angle SAD=\angle SAK+\angle KAH+\angle EAD=\angle BAE+\angle CAE+\angle DAE.$$

Так как $$\angle TAE=90^\circ$$, а $$\triangle TAS=\triangle EAD$$, то $$\angle TAS=\angle EAD.$$

Следовательно,

$$\angle SAD=\angle TAE+\angle EAD-\angle TAS=90^\circ.$$

Ответ: $$\angle BAE+\angle CAE+\angle DAE=90^\circ.$$