Упр.824 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Дан выпуклый шестиугольник А1А2А3A4A5A6, все углы которого равны. Докажите, что А1А2 — А4А5 = А5А6 — А2А3 = А3А4 — А6А1. На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму угол BAE+угол CAE+угол DAE.

Подробный ответ

Обозначим стороны шестиугольника так:

$$A_1A_2=a_1,\quad A_2A_3=a_2,\quad A_3A_4=a_3,\quad A_4A_5=a_4,\quad A_5A_6=a_5,\quad A_6A_1=a_6.$$

Продолжим стороны $$A_1A_6,$$ $$A_2A_3,$$ $$A_4A_5$$ и получим треугольник $$B_1B_2B_3.$$

Так как все углы выпуклого шестиугольника равны, то сумма его внутренних углов равна

$$180^\circ\cdot(6-2)=720^\circ,$$

следовательно, каждый угол равен

$$\alpha=\frac{720^\circ}{6}=120^\circ.$$

Тогда смежные с ними углы равны $$60^\circ$$. Значит, треугольники $$B_1B_2B_3,$$ $$B_3A_6A_5,$$ $$B_1A_1A_2,$$ $$B_2A_4A_3$$ — равносторонние, поэтому

$$B_1B_2=B_2B_3=B_1B_3.$$

Отсюда получаем равенство сумм сторон:

$$a_1+a_2+a_3=a_3+a_4+a_5=a_5+a_6+a_1.$$

Из первых двух равенств имеем

$$a_1+a_2=a_4+a_5,$$

то есть

$$a_1-a_4=a_5-a_2.$$

Из второго и третьего равенств получаем

$$a_3+a_4=a_6+a_1,$$

то есть

$$a_1-a_4=a_3-a_6.$$

Следовательно,