Упр.823 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 823. Прямые AA_1, BB_1 и CC_1, содержащие высоты остроугольного треугольника АВС, пересекают описанную окружность в точках A_1, B_1, C_1. Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы треугольника A_1B_1C_1. На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что AM = ВК + DM.

Подробный ответ

Решение

Обозначим $$\angle BAK=\angle KAM=a,$$ тогда $$\angle BAM=2a.$$

Так как $$AB \parallel CD,$$ а $$AM$$ — секущая, то накрест лежащие углы равны:

$$\angle BAM=\angle AMD=2a.$$

Построим биссектрису угла $$\angle AMD,$$ а затем к ней перпендикуляр. Пусть эта прямая пересекает $$AM$$ в точке $$E,$$ а прямую $$CD$$ — в точке $$F.$$ Тогда

$$AE \perp ME,$$

$$\angle AME=\angle FME=a.$$

Следовательно, в треугольнике $$AMF$$ прямая $$ME$$ является и биссектрисой, и высотой, значит, треугольник $$AMF$$ равнобедренный:

$$AM=FM.$$

Кроме того,

$$\angle MAE=\angle MFE=90^\circ-a.$$

Рассмотрим треугольники $$BKA$$ и $$DFA.$$ Имеем:

$$\angle KBA=\angle FDA=90^\circ,$$

$$AB=AD,$$

$$\angle BAK=\angle DAF=a.$$

Значит, треугольники $$BKA$$ и $$DFA$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$BK=DF.$$