Упр.823 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, содержащие высоты остроугольного треугольника $$ABC$$, пересекают описанную окружность в точках $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$. Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы треугольника $$A_1B_1C_1$$.
На стороне $$CD$$ квадрата $$ABCD$$ отмечена точка $$M$$. Биссектриса угла $$BAM$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Докажите, что $$AM = BK + DM$$.

Подробный ответ

Пусть $$\angle BAK=\angle KAM=a,$$ тогда $$\angle BAM=2a.$$

Так как $$AB\parallel CD,$$ а $$AM$$ — секущая, то накрест лежащие углы равны:

$$\angle BAM=\angle AMD=2a.$$

Построим биссектрису угла $$\angle AMD$$ и опустим на неё перпендикуляр из точки $$A.$$ Обозначим точку пересечения биссектрисы с этим перпендикуляром через $$E,$$ а с прямой $$CD$$ — через $$F.$$ Тогда

$$AE\perp ME,$$

$$\angle AME=\angle FME=a.$$

В треугольнике $$AMF$$ отрезок $$ME$$ одновременно является биссектрисой и высотой, значит, треугольник $$AMF$$ равнобедренный, поэтому

$$AM=FM.$$

Кроме того,

$$\angle MAE=\angle MFE=90^\circ-a.$$

Рассмотрим треугольники $$BKA$$ и $$DFA.$$ Имеем:

$$\angle KBA=\angle FDA=90^\circ,$$

$$AB=AD,$$

$$\angle BAK=\angle DAF=a.$$

Следовательно, треугольники $$BKA$$ и $$DFA$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,

$$BK=DF.$$