Упр.822 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 822. Около треугольника АВС описана окружность. Биссектрисы его углов А, В и С пересекают эту окружность в точках A_1, B_1 и C_1. Докажите, что прямые AA_1, BB_1 и CC_1 содержат высоты треугольника A_1B_1C_1. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.

Обозначим через $$E, F, G, H$$ точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах параллелограмма $$ABCD$$ вне его: $$E=AB_2\cap BA_2,$$ $$F=BC_1\cap CB_1,$$ $$G=CD_2\cap DC_2,$$ $$H=DA_1\cap AD_1.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$ и $$AD=BC.$$ Следовательно, соответствующие стороны построенных квадратов равны, а их диагонали делятся пополам в точках $$E, F, G, H.$$ Поэтому

$$AE=EB=CG=GD,$$

$$BF=FC=AH=HD.$$

Докажем, что $$EFGH$$ — квадрат.

Пусть $$\angle A=\angle C=a,$$ тогда $$\angle B=\angle D=180^\circ-a.$$

Рассмотрим угол $$\angle EBF$$. В квадрате $$ABB_2A_2$$ угол между диагональю и стороной равен $$45^\circ$$, поэтому

$$\angle EBF=360^\circ-(2\cdot 45^\circ+\angle B)=90^\circ+a.$$

Аналогично

$$\angle FCG=90^\circ+a,$$

$$\angle GDH=90^\circ+a,$$

$$\angle HAE=90^\circ+a.$$

Теперь сравним треугольники $$\triangle HAE$$, $$\triangle FBE$$, $$\triangle ECG$$ и $$\triangle HDG$$:

$$AE=EB=CG=GD,$$

$$AH=BF=CE=DG,$$

$$\angle HAE=\angle EBF=\angle FCG=\angle GDH.$$

По первому признаку равенства треугольников получаем

$$HE=EF=FG=GH.$$

Значит, $$EFGH$$ — ромб.

Найдём его угол. Так как $$\angle AEB=90^\circ$$, а $$\angle HAE=\angle FBE,$$ то

$$\angle AEH=\angle BEF.$$

Следовательно,

$$\angle E=\angle AEB+\angle BEF-\angle AEH=90^\circ.$$

Аналогично $$\angle G=90^\circ.$$ Тогда и остальные углы ромба равны $$90^\circ$$, значит, $$EFGH$$ — квадрат.

Ответ

Точки пересечения диагоналей квадратов являются вершинами квадрата.