Упр.821 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. В окружность вписан четырёхугольник $$ABCD$$. Точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$, $$D_1$$ являются серединами дуг АВ, ВС, CD, DA. Докажите, что прямые $$A_1B_1$$ и $$B_1D_1$$ перпендикулярны.
2. Задание учебника 2023 года. При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат.

Пусть $$\overset{\frown}{AB},\ \overset{\frown}{BC},\ \overset{\frown}{CD},\ \overset{\frown}{DA}$$ — дуги окружности, а точки $$A_1,\ B_1,\ C_1,\ D_1$$ — середины этих дуг. Тогда

$$\overset{\frown}{A_1B_1}=\frac12\left(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}\right),$$
$$\overset{\frown}{B_1D_1}=\frac12\left(\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}\right).$$

Сложим эти дуги:

$$\overset{\frown}{A_1B_1}+\overset{\frown}{B_1D_1} =\frac12\left(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DA}\right) =\frac12\cdot 360^\circ=180^\circ.$$

Угол между хордами $$A_1B_1$$ и $$B_1D_1$$ равен половине суммы соответствующих дуг:

$$\angle(A_1B_1,\ B_1D_1)=\frac{\overset{\frown}{A_1B_1}+\overset{\frown}{B_1D_1}}{2} =\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$

Следовательно, $$A_1B_1 \perp B_1D_1$$.