Упр.820 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Четырёхугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания вписанной окружности с его противоположными сторонами, перпендикулярны.
2. Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Пусть $$ABCD$$ — четырёхугольник, описанный около окружности, а точки $$E, F, G, H$$ — точки касания этой окружности со сторонами $$AB, BC, CD, AD$$ соответственно. Обозначим центр окружности через $$O$$.

Так как четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Кроме того, из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:

$$AE=AH,\quad BE=BF,\quad CF=CG,\quad DG=DH.$$

Рассмотрим треугольники с вершиной в центре окружности. Поскольку радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам, имеем:

$$OE\perp AB,\quad OF\perp BC,\quad OG\perp CD,\quad OH\perp AD.$$

Следовательно, углы между радиусами и сторонами связаны с углами четырёхугольника. В частности, в четырёхугольнике $$EOGH$$:

$$\angle EOH=180^\circ-\angle BAD,$$

$$\angle FOG=180^\circ-\angle BCD.$$

Но в четырёхугольнике $$ABCD$$, вписанном в окружность, противоположные углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle BAD+\angle BCD=180^\circ.$$

Значит,

$$\angle EOH=\angle BCD,\qquad \angle FOG=180^\circ-\angle BCD.$$

Тогда сумма углов при центре между лучами $$OE$$ и $$OG$$, а также между $$OF$$ и $$OH$$ даёт, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон, образуют прямой угол. Итак,

$$EG\perp FH.$$

Что и требовалось доказать.