Упр.819 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Четырёхугольник $$ABCD$$ описан около окружности с центром $$O$$. Докажите, что $$\angle AOD+\angle BOC=\angle AOB=\angle COD$$.
Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — произвольная точка данной прямой $$a$$, а $$X_1$$ — середина отрезка $$CX$$. Докажем, что все такие точки $$X_1$$ лежат на одной прямой.

Проведём через точку $$C$$ перпендикуляр к прямой $$a$$ и обозначим точку его пересечения с прямой $$a$$ через $$A$$. Тогда $$A$$ — середина отрезка $$CX$$, если $$X$$ выбрана так, что $$AX=AC$$, а для произвольной точки $$X$$ середина отрезка $$CX$$ обозначим через $$X_1$$.

Через середину $$A_1$$ отрезка $$AC$$ проведём прямую $$b$$, параллельную прямой $$a$$. Тогда $$A_1X_1$$ — средняя линия треугольника $$CAX$$, поэтому

$$A_1X_1 \parallel AX.$$

Но $$AX \subset a$$, значит, $$A_1X_1 \parallel a$$. Через точку $$A_1$$ можно провести только одну прямую, параллельную прямой $$a$$, следовательно, все точки $$X_1$$ лежат на одной и той же прямой $$b$$.

Итак, множество середин всех отрезков, соединяющих точку $$C$$ со всеми точками прямой $$a$$, не проходящей через $$C$$, есть прямая, параллельная $$a$$ и проходящая через середину перпендикуляра, опущенного из $$C$$ на $$a$$.