Упр.819 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 819. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Докажите, что угол AOD+угол BOC=угол AOB=угол COD. Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

Подробный ответ

Обозначим углы при вершинах четырёхугольника, образованные радиусами к точкам касания, так:

$$\angle ABO=\angle CBO=a,$$

$$\angle BCO=\angle DCO=b,$$

$$\angle BAO=\angle DAO=c,$$

$$\angle ADO=\angle CDO=d.$$

Так как четырёхугольник описан около окружности, то радиусы, проведённые к точкам касания, делят углы пополам.

Рассмотрим углы при центре:

$$\angle AOD=180^\circ-\angle DAO-\angle ADO=180^\circ-c-d,$$

$$\angle BOC=180^\circ-\angle CBO-\angle BCO=180^\circ-a-b,$$

$$\angle AOB=180^\circ-\angle ABO-\angle BAO=180^\circ-a-c,$$

$$\angle COD=180^\circ-\angle DCO-\angle CDO=180^\circ-b-d.$$

Сложим первые два равенства:

$$\angle AOD+\angle BOC=(180^\circ-c-d)+(180^\circ-a-b)=360^\circ-(a+b+c+d).$$

Сложим вторые два равенства:

$$\angle AOB+\angle COD=(180^\circ-a-c)+(180^\circ-b-d)=360^\circ-(a+b+c+d).$$

Следовательно,

$$\angle AOD+\angle BOC=\angle AOB+\angle COD.$$

Что и требовалось доказать.

Ход решения

Пусть дана прямая $$a$$ и точка $$C$$, не лежащая на ней. Проведём через $$C$$ перпендикуляр к прямой $$a$$ и обозначим точку пересечения как $$A_1$$. Тогда $$A_1$$ — середина отрезка $$AC$$, так как

$$AA_1=A_1C=\frac12 AC.$$

Через точку $$A_1$$ проведём прямую $$b$$, параллельную прямой $$a$$.

Возьмём на прямой $$a$$ произвольную точку $$X$$ и соединим её с точкой $$C$$. Пусть отрезок $$CX$$ пересекает прямую $$b$$ в точке $$X_1$$. Докажем, что $$X_1$$ — середина отрезка $$CX$$.

Так как $$A_1X_1$$ — средняя линия треугольника $$ACX$$, то

$$A_1X_1 \parallel AX.$$

Но $$AX \subset a$$, значит $$A_1X_1 \parallel a$$. Через точку $$A_1$$ можно провести только одну прямую, параллельную $$a$$, следовательно, $$A_1X_1$$ совпадает с прямой $$b$$. Значит, точка $$X_1$$ лежит на $$b$$ и является серединой отрезка $$CX$$.

Итак, середины всех отрезков, соединяющих точку $$C$$ со всеми точками прямой $$a$$, лежат на одной прямой $$b$$, параллельной $$a$$ и проходящей через середину отрезка $$AC$$.