Упр.818 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
2. Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Обозначим точки пересечения диагоналей четырёхугольника $$ABCD$$ через $$O$$, где $$O \in AC$$ и $$O \in BD$$.

Тогда периметры треугольников выражаются так:

$$P_{AOB}=OA+OB+AB,$$
$$P_{BOC}=OB+OC+BC,$$
$$P_{COD}=OC+OD+CD,$$
$$P_{AOD}=OA+OD+AD.$$

По условию все они равны, значит

$$OA+OB+AB=OB+OC+BC,$$
$$OC+OD+CD=OD+OA+AD.$$

Отсюда получаем

$$OA+AB=OC+BC,$$
$$OC+CD=OA+AD.$$

Вычтем из первого равенства второе:

$$AB-CD=BC-AD.$$

Аналогично, сравнивая другие пары равных периметров, получаем также

$$AB-BC=AD-CD.$$

Теперь рассмотрим возможные случаи.

1. Если $$AB>BC$$, то из равенства $$AB-BC=AD-CD$$ следует $$AD>CD$$. Тогда из равенства периметров треугольников при переходе от $$AOB$$ и $$AOD$$ к $$BOC$$ и $$COD$$ получается противоречие.
2. Если $$AB<BC$$, то аналогично возникает противоречие.

Значит, остаётся только случай

$$AB=BC.$$

Подставляя это в равенство $$AB-BC=AD-CD$$, получаем

$$AD=CD.$$

Теперь из равенства $$AB-CD=BC-AD$$ и уже найденных равенств следует

$$AB=AD.$$

Итак,

$$AB=BC=CD=DA.$$

Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — ромб.

Ответ

$$ABCD$$ — ромб.