Упр.817 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.

Пусть искомая окружность касается прямой $$a$$ в точке $$A$$ и проходит через точку $$B$$. Тогда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит центр окружности лежит на перпендикуляре к прямой $$a$$, восстановленном в точке $$A$$.

Кроме того, центр окружности должен быть равноудалён от точек $$A$$ и $$B$$, так как $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности. Следовательно, центр окружности лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$.

Итак, центр искомой окружности — это точка пересечения:

• серединного перпендикуляра к отрезку $$AB$$;
• перпендикуляра к прямой $$a$$, проведённого через точку $$A$$.

Обозначим эту точку через $$O$$. Тогда окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$ проходит через точку $$B$$ и касается прямой $$a$$ в точке $$A$$.

Докажем второе утверждение. Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$, $$AC$$, $$AB$$ соответственно. Тогда $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$ — медианы.

Рассмотрим треугольник $$ABA_1$$. По неравенству треугольника

$$AA_1+BA_1>AB.$$

Так как $$A_1$$ — середина $$BC$$, то $$BA_1=\dfrac{BC}{2}$$. Аналогично, из треугольников $$ACA_1$$ и $$BCA_1$$ получаем

$$AA_1>\frac{AB+AC-BC}{2},$$

$$BB_1>\frac{AB+BC-AC}{2},$$

$$CC_1>\frac{AC+BC-AB}{2}.$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$ AA_1+BB_1+CC_1> \frac{AB+AC-BC}{2}+\frac{AB+BC-AC}{2}+\frac{AC+BC-AB}{2} =\frac{AB+BC+CA}{2}. $$

С другой стороны, из неравенства треугольника для треугольников $$ABA_1$$, $$BCA_1$$ и $$ACA_1$$ имеем

$$ AA_1<\frac{AB+AC}{2},\qquad BB_1<\frac{AB+BC}{2},\qquad CC_1<\frac{AC+BC}{2}. $$

Складывая, получаем

$$ AA_1+BB_1+CC_1< \frac{AB+AC}{2}+\frac{AB+BC}{2}+\frac{AC+BC}{2} =AB+BC+CA. $$

Обозначая периметр треугольника через $$P=AB+BC+CA$$, получаем

$$\frac{P}{2}<AA_1+BB_1+CC_1<P.$$

Ответ

Центр окружности — точка пересечения серединного перпендикуляра к $$AB$$ и перпендикуляра к прямой $$a$$, проведённого через $$A$$. Сумма трёх медиан треугольника удовлетворяет неравенству $$\dfrac{P}{2}<AA_1+BB_1+CC_1<P$$.