Упр.817 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.
2. Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.

Пусть $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC,$$ а его периметр равен $$P=AB+BC+CA.$$

Докажем сначала, что сумма медиан меньше периметра.

Продолжим медиану $$AA_1$$ до точки $$D$$ так, чтобы $$A_1D=AA_1.$$ Тогда $$A_1$$ — середина отрезка $$AD,$$ а значит, четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм. Следовательно,

$$AD=BC.$$

В треугольнике $$ABD$$ по неравенству треугольника имеем

$$AB+BD>AD.$$

Так как $$BD=AC,$$ то

$$AA_1=\frac{AD}{2}<\frac{AB+AC}{2}.$$

Аналогично получаем:

$$BB_1<\frac{AB+BC}{2},$$

$$CC_1<\frac{AC+BC}{2}.$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$AA_1+BB_1+CC_1<\frac{AB+AC}{2}+\frac{AB+BC}{2}+\frac{AC+BC}{2}=AB+BC+CA=P.$$

Теперь докажем, что сумма медиан больше половины периметра.

Из неравенства треугольника для треугольников $$ABA_1$$ и $$ACA_1$$ имеем:

$$AA_1+A_1B>AB,$$

$$AA_1+A_1C>AC.$$

Складывая, получаем

$$2AA_1+A_1B+A_1C>AB+AC.$$

Но $$A_1B+ A_1C=BC,$$ так как $$A_1$$ — середина стороны $$BC.$$ Значит,

$$2AA_1>AB+AC-BC,$$

откуда

$$AA_1>\frac{AB+AC-BC}{2}.$$

Аналогично:

$$BB_1>\frac{AB+BC-AC}{2},$$

$$CC_1>\frac{AC+BC-AB}{2}.$$

Складывая, получаем

$$AA_1+BB_1+CC_1>\frac{AB+AC-BC}{2}+\frac{AB+BC-AC}{2}+\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{P}{2}.$$

Итак,

$$\frac{P}{2}<AA_1+BB_1+CC_1<P.$$